Matura z matematyki maj 2026, poziom podstawowy - zadania i rozwiązania

Odpowiedź (klucz CKE): C ($3$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu: $\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25\cdot 2}{8}}=\sqrt{\frac{25}{4}}\text{.}$
2. $\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\text{,}$ bo $\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\text{.}$
3. Potęga o wykładniku $-1$ to odwrotność: $2^{-1}=\frac{1}{2}\text{.}$
4. Dodajemy: $\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\text{.}$

Typowe błędy

• Traktowanie $2^{-1}$ jak $-2$ zamiast $\frac{1}{2}\text{.}$
• Pierwiastkowanie tylko licznika: $\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5}{8}\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): B ($1236$ zł)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Procent składany: po 2 latach kapitał jest równy $10\,000\cdot 1{,}06^2\text{.}$
2. $1{,}06^2=1{,}1236\text{,}$ więc kapitał to $10\,000\cdot 1{,}1236=11\,236$ zł.
3. Odsetki to różnica między kapitałem końcowym a wpłatą: $11\,236-10\,000=1236$ zł.

Typowe błędy

• Liczenie jak przy procencie prostym: $2\cdot 600=1200$ zł (w drugim roku odsetki liczy się też od odsetek z pierwszego roku).
• Podanie całego kapitału zamiast samych odsetek.

Odpowiedź (klucz CKE): C ($5^{\frac{3}{4}}$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę: $\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\text{,}$ więc $5\sqrt{5}=5^{1}\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}\text{.}$
2. Zewnętrzny pierwiastek to potęga $\frac{1}{2}\text{:}$ $\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}\text{.}$

Typowe błędy

• Mnożenie wykładników zamiast ich dodawania przy $5\cdot 5^{\frac{1}{2}}\text{.}$
• Zapomnienie, że zewnętrzny pierwiastek obejmuje też czynnik $5$ przed $\sqrt{5}\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): B ($(-1)$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu: $\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\frac{4}{32}=\log_{8}\frac{1}{8}\text{.}$
2. $8^{-1}=\frac{1}{8}\text{,}$ więc $\log_{8}\frac{1}{8}=-1\text{.}$

Typowe błędy

• Odejmowanie liczb pod logarytmem: $\log_{8}(4-32)\text{.}$
• Odwrócenie ilorazu: $\log_{8}\frac{32}{4}=1\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): PP (1. prawda, 2. prawda)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Sprowadzamy do wspólnego wykładnika: $4^{12}=(2^2)^{12}=2^{24}\text{.}$
2. $4^{12}\cdot 5^{24}=2^{24}\cdot 5^{24}=(2\cdot 5)^{24}=10^{24}\text{.}$
3. $10^{24}=20\cdot 5\cdot 10^{22}\text{,}$ więc jest podzielna przez $20$ - zdanie 1 prawdziwe.
4. $10^{24}$ to jedynka i $24$ zera, czyli $25$ cyfr - zdanie 2 prawdziwe.

Typowe błędy

• Uznanie, że $10^{24}$ ma $24$ cyfry (zapominamy o jedynce na początku).
• Uznanie, że $10^{24}$ nie dzieli się przez $20\text{,}$ bo $20$ nie jest potęgą $10$ - wystarczy, że $20$ dzieli $100\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): A ($2$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia: $x^2+10x+25=(x+5)^2\text{.}$
2. Podstawiamy: $x+5=\sqrt{2}-5+5=\sqrt{2}\text{.}$
3. $(\sqrt{2})^2=2\text{.}$

Typowe błędy

• Podstawianie bez wzoru i błąd w rachunku $(\sqrt{2}-5)^2=2+25$ (brak wyrazu $-10\sqrt{2}$).
• Zatrzymanie się na $\sqrt{2}$ (bez podniesienia do kwadratu).

Odpowiedź (klucz CKE): zadanie na dowód - ocenia się tok rozumowania.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyłączamy wspólny czynnik: $7n^2+21n=7n(n+3)\text{.}$ Liczba ma więc czynnik $7\text{.}$
2. Pokazujemy, że $n(n+3)$ jest parzyste. Liczby $n$ i $n+3$ różnią się o $3$ (liczbę nieparzystą), więc jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta.
3. Iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej jest parzysty, więc $n(n+3)=2k$ dla pewnego całkowitego $k\text{.}$
4. Stąd $7n^2+21n=7\cdot 2k=14k\text{,}$ czyli liczba jest podzielna przez $14\text{.}$ To kończy dowód.

Typowe błędy

• Sprawdzenie tezy na kilku przykładach ($n=1,2,3$) - to nie jest dowód i daje 0 pkt.
• Pokazanie tylko podzielności przez $7$ (albo tylko przez $2$) - za to jest najwyżej 1 pkt.
• Zapis $7n(n+3)=0$ zamiast rozkładu wyrażenia - równanie niczego nie dowodzi.

Odpowiedź (klucz CKE): C ($5$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem: $x=-3\text{,}$ $x=m$ albo $2x+4=0\text{,}$ czyli $x=-2\text{.}$
2. Suma rozwiązań: $-3+(-2)+m=0\text{.}$
3. Stąd $m=5\text{.}$ Wtedy rozwiązania to $-3\text{,}$ $-2\text{,}$ $5$ - trzy różne liczby, więc warunek jest spełniony.

Typowe błędy

• Odczytanie rozwiązania z nawiasu $(2x+4)$ jako $x=-4$ zamiast $x=-2\text{.}$
• Liczenie czynnika $3$ jako rozwiązania równania.

Odpowiedź (klucz CKE): D ($12$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Dziedzina: $3x-1\ne 0\text{,}$ czyli $x\ne\frac{1}{3}\text{.}$
2. Mnożymy na krzyż: $5(x+2)=2(3x-1)\text{.}$
3. $5x+10=6x-2\text{,}$ więc $x=12\text{.}$
4. $12\ne\frac{1}{3}\text{,}$ więc liczba należy do dziedziny. Sprawdzenie: $\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\text{.}$

Typowe błędy

• Pominięcie dziedziny - odpowiedź A to właśnie liczba, dla której mianownik jest zerem.
• Błąd znaku przy przenoszeniu: $5x-6x=-2-10$ liczone jako $x=12$ z niewłaściwym znakiem.

Odpowiedź (klucz CKE): $x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,+\infty)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $3x^2-2x-8\ge 0\text{.}$
2. Wyróżnik: $\Delta=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-8)=4+96=100\text{,}$ $\sqrt{\Delta}=10\text{.}$
3. Pierwiastki: $x_1=\frac{2-10}{6}=-\frac{4}{3}\text{,}$ $x_2=\frac{2+10}{6}=2\text{.}$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($3>0$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i jest nad osią (lub na niej) poza przedziałem między pierwiastkami.
5. Nierówność jest nieostra, więc końce należą do zbioru rozwiązań.

Typowe błędy

• Dzielenie obu stron przez $3x+4$ bez sprawdzenia znaku tego wyrażenia - daje 0 pkt.
• Wybór przedziału między pierwiastkami: $\left[-\frac{4}{3},2\right]$ (to rozwiązanie nierówności $\le 0$).
• Nawiasy otwarte przy $-\frac{4}{3}$ i $2\text{,}$ choć nierówność jest nieostra.

Odpowiedź (klucz CKE): 78

Rozwiązanie krok po kroku

1. Po zapłaceniu $25\%$ kosztów zostaje $75\%$ wpływów, więc wpływy to $\frac{4665}{0{,}75}=6220$ zł.
2. Oznaczmy przez $y$ liczbę biletów ulgowych. Biletów normalnych jest $200-y\text{.}$
3. Równanie wpływów: $35(200-y)+25y=6220\text{.}$
4. $7000-35y+25y=6220\text{,}$ czyli $-10y=-780\text{,}$ więc $y=78\text{.}$
5. Sprawdzenie: $122\cdot 35+78\cdot 25=4270+1950=6220$ zł, a $0{,}75\cdot 6220=4665$ zł.

Typowe błędy

• Traktowanie kwoty $4665$ zł jako całych wpływów (bez uwzględnienia $25\%$ kosztów).
• Liczenie wpływów jako $4665\cdot 1{,}25$ zamiast $4665:0{,}75$ - koszty to $25\%$ wpływów, a nie $25\%$ tego, co zostało.
• Podanie liczby biletów normalnych ($122$) zamiast ulgowych.

Odpowiedź (klucz CKE): 1; 4

Rozwiązanie krok po kroku

1. Równanie $f(x)=3$ na pierwszym kawałku: $x+2=3\text{,}$ więc $x=1\text{,}$ a $1\in[-4,2]$ - pasuje.
2. Na drugim kawałku: $-x+5=3\text{,}$ więc $x=2\text{,}$ ale $2\not\in(2,5)$ - odpada. Jedynym rozwiązaniem jest $1\text{.}$
3. W przedziale $[2,3]\text{:}$ $f(2)=2+2=4$ (punkt $x=2$ należy do pierwszego wzoru), a dla $x\in(2,3]$ funkcja $-x+5$ maleje od wartości bliskich $3$ do $2\text{.}$
4. Największa wartość w $[2,3]$ to $f(2)=4\text{.}$

Typowe błędy

• Przyjęcie $x=2$ jako drugiego rozwiązania $f(x)=3$ - na wykresie w punkcie $(2,3)$ jest kółko puste.
• Odczytanie największej wartości w $[2,3]$ jako $3$ (z drugiego kawałka), bez sprawdzenia $f(2)\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): $[-2,4]\text{;}$ $(-1,4)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Pierwszy kawałek $y=x+2$ na $[-4,2]$ przyjmuje wszystkie wartości od $f(-4)=-2$ do $f(2)=4\text{,}$ czyli $[-2,4]\text{.}$
2. Drugi kawałek $y=-x+5$ na $(2,5)$ przyjmuje wartości z przedziału $(0,3)$ - już zawartego w $[-2,4]\text{.}$
3. Zbiór wartości: $[-2,4]\text{.}$
4. $f(x)>1\text{:}$ na pierwszym kawałku $x+2>1\text{,}$ czyli $x>-1\text{,}$ więc $x\in(-1,2]\text{;}$ na drugim $-x+5>1\text{,}$ czyli $x<4\text{,}$ więc $x\in(2,4)\text{.}$
5. Suma: $(-1,2]\cup(2,4)=(-1,4)\text{.}$

Typowe błędy

• Domknięcie przedziału w punkcie $4$ w zdaniu 2 - dla $x=4$ mamy $f(4)=1\text{,}$ a nierówność jest ostra.
• Zbiór wartości $[-2,4)$ - wartość $4$ jest przyjmowana w $x=2$ (kółko pełne).

Odpowiedź (klucz CKE): FF (1. fałsz, 2. fałsz)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Z rysunku wykres przecina osie w punktach $(-2,0)$ i $(0,-3)\text{.}$
2. Funkcja maleje (wykres opada w prawo), więc $a<0\text{.}$ Dokładnie: $a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}$ - zdanie 1 fałszywe.
3. $b$ to rzędna punktu przecięcia z osią $Oy\text{:}$ $b=-3<0$ - zdanie 2 fałszywe.

Typowe błędy

• Mylenie $b$ z miejscem zerowym ($-2$).
• Ocena znaku $a$ po tym, że wykres „jest wysoko” po lewej stronie, zamiast po kierunku (rośnie czy maleje).

Odpowiedź (klucz CKE): A ($\left(-\frac{3}{2}\right)$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Wykres przechodzi przez $(-2,0)$ i $(0,-3)\text{,}$ więc współczynnik kierunkowy $a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\text{.}$
2. Kąt $\alpha$ na rysunku jest mierzony od dodatniej półosi $Ox$ do wykresu (kąt rozwarty), więc $\operatorname{tg}\alpha=a\text{.}$
3. $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\text{.}$

Typowe błędy

• Odwrócenie ilorazu: $\frac{\Delta x}{\Delta y}=-\frac{2}{3}\text{.}$
• Podanie tangensa kąta ostrego między prostą a osią ($\frac{3}{2}$) - na rysunku zaznaczono kąt rozwarty.

Odpowiedź (klucz CKE): $f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Z wierzchołka zapisujemy postać kanoniczną: $f(x)=a(x-3)^2-2\text{,}$ gdzie $a\ne 0\text{.}$
2. $g(0)=0\text{,}$ a $g(0)=f(0+1)=f(1)\text{.}$ Zatem $f(1)=0$ - liczba $1$ jest miejscem zerowym $f\text{.}$
3. Podstawiamy: $a(1-3)^2-2=0\text{,}$ czyli $4a=2\text{,}$ więc $a=\frac{1}{2}\text{.}$
4. Wymnażamy: $f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+9)-2=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{9}{2}-2\text{.}$
5. $f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}\text{.}$ Sprawdzenie: $f(1)=\frac{1}{2}-3+\frac{5}{2}=0$ i $x_w=\frac{3}{2\cdot\frac{1}{2}}=3\text{.}$

Typowe błędy

• Przesunięcie w złą stronę: z $g(0)=0$ wniosek, że $f(-1)=0$ (poprawnie $g(0)=f(1)$).
• Zostawienie wyniku w postaci kanonicznej - polecenie wymaga postaci ogólnej.
• Założenie $a=1$ bez obliczenia.

Odpowiedź (klucz CKE): 41

Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy wyrazy: $a_1=3\cdot 1+5=8\text{,}$ $a_9=3\cdot 9+5=32\text{.}$
2. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem sąsiednich: $a_9^2=a_1\cdot a_k\text{.}$
3. $32^2=8\cdot a_k\text{,}$ więc $a_k=\frac{1024}{8}=128$ (iloraz $q=4\text{:}$ $8, 32, 128$).
4. $3k+5=128\text{,}$ czyli $3k=123\text{,}$ więc $k=41\text{.}$

Typowe błędy

• Użycie własności ciągu arytmetycznego ($2a_9=a_1+a_k$) zamiast geometrycznego.
• Zatrzymanie się na $a_k=128$ bez wyznaczenia numeru wyrazu $k\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): B ($33$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. $a_5=a_1+4r\text{,}$ więc $17=1+4r$ i $r=4\text{.}$
2. $a_9=a_1+8r=1+32=33\text{.}$

Typowe błędy

• Liczenie $a_9=a_1+9r=37$ (o jedną różnicę za dużo).
• Traktowanie ciągu jak geometrycznego.

Odpowiedź (klucz CKE): 18

Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy wyrazy przez $a_1$ i $q\text{:}$ $a_3\cdot a_6=a_1q^2\cdot a_1q^5=a_1^2q^7\text{.}$
2. $a_2\cdot a_7=a_1q\cdot a_1q^6=a_1^2q^7\text{.}$
3. Oba iloczyny są równe, więc $a_2\cdot a_7=18\text{.}$

Typowe błędy

• Próba wyznaczenia $a_1$ i $q$ osobno - z jednego warunku się nie da, a nie jest to potrzebne.
• Dodawanie wykładników z błędem: $a_1q^2\cdot a_1q^5=a_1^2q^{10}\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): C ($\frac{3}{\sqrt{10}}$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Z twierdzenia Pitagorasa: $|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=40-4=36\text{,}$ więc $|AB|=6\text{.}$
2. Sinus kąta $\gamma$ przy wierzchołku $C$ to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej: $\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}\text{.}$
3. $\sin\gamma=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\text{.}$

Typowe błędy

• Użycie przyprostokątnej przyległej: $\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ - to cosinus $\gamma\text{.}$
• Tangens zamiast sinusa: $\frac{6}{2}=3$ lub jego odwrotność $\frac{1}{3}\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): C ($70^\circ$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąt wpisany $CDA$ i kąt środkowy $COA$ są oparte na tym samym łuku $AC$ (krótszym, na którym leży $B$).
2. Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego: $|\angle COA|=2\cdot 50^\circ=100^\circ\text{.}$
3. Punkt $B$ leży na łuku $AC\text{,}$ więc $|\angle BOA|=|\angle COA|-|\angle COB|=100^\circ-30^\circ=70^\circ\text{.}$

Typowe błędy

• Przyjęcie, że kąt środkowy jest równy wpisanemu ($50^\circ$).
• Podanie miary całego kąta $COA$ ($100^\circ$).

Odpowiedź (klucz CKE): B ($9$)

Rozwiązanie krok po kroku

1. Punkty $A\text{,}$ $D$ leżą na prostej $k\text{,}$ a $C\text{,}$ $B$ na prostej $l\text{,}$ przy czym $k\parallel l\text{.}$
2. Trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $O$ i kąty naprzemianległe przy prostych równoległych).
3. Odpowiadające sobie boki: $OA\leftrightarrow OC$ oraz $OD\leftrightarrow OB\text{,}$ więc $\frac{|OD|}{|OB|}=\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{12}{8}\text{.}$
4. $|OD|=6\cdot\frac{12}{8}=9\text{.}$