Matura z matematyki · poziom podstawowy

Zadania tekstowe

W zadaniu tekstowym najtrudniejsze jest przetłumaczenie treści na równanie. Dobra kolejność: nazwać niewiadome (z jednostkami), zapisać każde zdanie treści jako osobną zależność, dopiero potem liczyć.

Gdy niewiadomych jest dwie, zwykle potrzebne są dwa równania - czyli układ. Rozwiązujemy go podstawianiem albo przez dodawanie stronami. Po rozwiązaniu warto wrócić do treści i sprawdzić, czy wynik ma sens: liczba osób jest naturalna, prędkość dodatnia, a czas nie wychodzi ujemny.

Za zadanie tekstowe na maturze można dostać punkty częściowe za samo poprawne ułożenie równania, dlatego nawet przy braku czasu warto zapisać zależności.

Najważniejsze wzory

Droga, prędkość, czas
$s = v \cdot t$
Praca wspólna (wydajności się dodają)
$\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$
Stężenie procentowe
$c = \frac{m_s}{m_r} \cdot 100\%$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

3

zeszyty i

2

długopisy zapłacono

19

zł, a za

2

zeszyty i

3

długopisy

16

zł. Ile kosztuje jeden zeszyt, a ile jeden długopis?

Niech $z$ - cena zeszytu, $d$ - cena długopisu (w zł). Układ: $3z + 2d = 19$ oraz $2z + 3d = 16\text{.}$
Odejmujemy równania stronami: $z - d = 3\text{.}$ Dodajemy: $5z + 5d = 35\text{,}$ czyli $z + d = 7\text{.}$
Z $z - d = 3$ i $z + d = 7$ mamy $z = 5\text{,}$ $d = 2\text{.}$
Sprawdzenie: $3 \cdot 5 + 2 \cdot 2 = 19$ oraz $2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 16\text{.}$

Odpowiedź: Zeszyt kosztuje $5$ zł, długopis $2$ zł.

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Zadania tekstowe

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 2 pkt

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę

1200000

złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów:

A

B\text{.}

W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie

146700

złotych – zespół

A

wykorzystał

13\%

przyznanych mu środków, a zespół

B

wykorzystał

11\%

przyznanych mu środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi

A

na realizację projektu badawczego.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Zespołowi $A$ przyznano $735000$ zł na realizację projektu badawczego.

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 9

Zadanie 2 · 2 pkt

W maju

2024

roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie

1410

drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło

20\%

drzew w pierwszym sadzie i

15\%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

70\%

liczby drzew, które
pozostały w pierwszym sadzie. Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju

2024

roku.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: W pierwszym sadzie posadzono $850$ drzew.

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2025, zad. 8

Zadanie 3 · 1 pkt

W październiku

2022

roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło

5\%

drzew w pierwszym sadzie i

10\%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

60\%

liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech

x

oraz

y

oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby

x

drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby

y

drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

A. $\begin{cases} x+y=1960 \\ 0,6\cdot0,95x=0,9y \end{cases}$
B. $\begin{cases} x+y=1960 \\ 0,95x=0,6\cdot 0,9y \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+y=1960 \\ 0,05x=0,6 \cdot 0,1y \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+y=1960 \\ 0,4 \cdot 0,95x = 0,9y \end{cases}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $\begin{cases} x+y=1960 \\ 0,6\cdot0,95x=0,9y \end{cases}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 10

Zadanie 4 · 1 pkt

Rozważmy treść następującego zadania: Obwód prostokąta o bokach długości

a

b

jest równy

60\text{.}

Jeden z boków tego prostokąta jest o

10

dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta. Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

A. $\begin{cases} 2(a+b)=60 \\ a+10=b \end{cases}$
B. $\begin{cases} 2a+b=60 \\ 10b=a \end{cases}$
C. $\begin{cases} 2ab=60 \\ a-b=10 \end{cases}$
D. $\begin{cases} 2(a+b)=60 \\ 10a=b \end{cases}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $\begin{cases} 2(a+b)=60 \\ a+10=b \end{cases}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2017, zad. 7

Zadanie 5 · 2 pkt

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy

\frac{4}{7}\text{,}

a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy

1\text{,}

to otrzymamy

\frac{1}{2}\text{.}

Wyznacz ten ułamek.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\frac{8}{17}$

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2015, zad. 31

Więcej zadań do ćwiczeń

Zadania w stylu maturalnym z otwartego zbioru (licencja CC BY-SA 4.0). Rozwiązania przygotowało zdaje.com.

Zadanie 6

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych. Przyjmijmy następujące oznaczenia:

x

– liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,

y

– liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby

x

drzew iglastych oraz liczby

y

drzew liściastych, jest

A. $\begin{cases}x+y=198\\x+18=3y\end{cases}$
B. $\begin{cases}x+y=198\\3x+18=y\end{cases}$
C. $\begin{cases}x+y=198\\\frac13x+18=y\end{cases}$
D. $\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}$ )

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Łączna liczba drzew:

x+y=198\text{.}

Gdyby iglastych było o 18 więcej, byłoby ich

x+18\text{.}

Wtedy liściastych (czyli

y\text{,}

bo ich liczba się nie zmienia) byłoby 3 razy więcej niż nowej liczby iglastych:

y=3(x+18)\text{.}

To odpowiada układowi z odpowiedzi D.

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 7

Do sklepu dostarczono

x

puszek napoju gazowanego o pojemności

\dfrac13

litra oraz

y

puszek tego napoju o pojemności

0{,}5

litra. Puszek o mniejszej pojemności było dwa razy więcej niż puszek o pojemności większej. Ponadto w puszkach większych było o 15 litrów napoju mniej niż w puszkach mniejszych. Który układ równań opisuje podane zależności?

A.
$\begin{cases}\dfrac{x}3=\dfrac{y}2+15\\y=2x\end{cases}$
B.
$\begin{cases}\dfrac{x}3-\dfrac{y}2=15\\x=2y\end{cases}$
C.
$\begin{cases}\dfrac{x}3+15=0{,}5y\\2y-x=0\end{cases}$
D.
$\begin{cases}\dfrac{x}3+0{,}5y=15\\x-2y=0\end{cases}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (

\begin{cases}\dfrac{x}3-\dfrac{y}2=15\\x=2y\end{cases}

)

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Puszki o mniejszej pojemności (

\frac13

l) jest

x\text{,}

puszek o większej pojemności (

0{,}5

l) jest

y\text{.}

"Mniejszych było dwa razy więcej niż większych" daje

x=2y\text{.}

Łączna ilość napoju w puszkach mniejszych to

\dfrac{x}3

litrów, a w puszkach większych to

0{,}5y=\dfrac{y}2

litrów.
"W puszkach większych było o 15 litrów mniej niż w mniejszych" oznacza

\dfrac{x}3-\dfrac{y}2=15

.
Otrzymany układ

\begin{cases}\dfrac{x}3-\dfrac{y}2=15\\x=2y\end{cases}

pokrywa się z odpowiedzią B.

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 8

W październiku 2024 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 3070 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 10% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w pierwszym sadzie, jest o 65% większa od liczby drzew, które pozostały w drugim sadzie. Niech

x

oraz

y

oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby

x

drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby

y

drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

A. $\begin{cases}x+y=3070\\0,65\cdot0,85y=0,9x\end{cases}$
B. $\begin{cases}x+y=3070\\0,85y=0,35\cdot0,9x\end{cases}$
C. $\begin{cases}x+y=3070\\0,9x=1,65\cdot0,85y\end{cases}$
D. $\begin{cases}x+y=3070\\0,35\cdot0,85x=0,9y\end{cases}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $\begin{cases}x+y=3070\\0,9x=1,65\cdot0,85y\end{cases}$ )

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Łączna liczba posadzonych drzew:

x+y=3070\text{.}

Po roku w pierwszym sadzie zostało

0,9x

drzew (uschło 10%), w drugim

0,85y

(uschło 15%).
Liczba drzew pozostałych w pierwszym sadzie jest o 65% większa od liczby w drugim, czyli

0,9x=0,85y+0,65\cdot0,85y=1,65\cdot0,85y\text{.}

Otrzymujemy układ z odpowiedzi C.

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Rozwiąż kolejne zadania z zadań tekstowych

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z zadań tekstowych

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE