Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Planimetria

Planimetria to geometria na płaszczyźnie: trójkąty, czworokąty, okręgi. Większość zadań rozwiązuje się kilkoma narzędziami - twierdzeniem Pitagorasa, sumą kątów w trójkącie, podobieństwem i wzorami na pole.

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, więc promień to jej połowa. Promień okręgu wpisanego w dowolny trójkąt wyznaczamy z pola i połowy obwodu. Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Dużo zadań z planimetrii ma rysunek w arkuszu - takich na tej stronie nie pokazujemy, bo bez rysunku tracą sens. Przy zadaniach bez rysunku zawsze warto zrobić własny szkic i zaznaczyć na nim dane.

Najważniejsze wzory

  • Twierdzenie Pitagorasa

    a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

  • Pole trójkąta

    P=12ah=12absin⁡γP = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} ab \sin\gamma

  • Promień okręgu wpisanego

    r=Pp,p=a+b+c2r = \frac{P}{p}, \quad p = \frac{a + b + c}{2}

  • Kąt wpisany i środkowy

    αwpisany=12 αsˊrodkowy\alpha_{\text{wpisany}} = \frac{1}{2}\, \alpha_{\text{środkowy}}

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 66 i 8.8\text{.} Oblicz długość przeciwprostokątnej, pole oraz promienie okręgów opisanego i wpisanego.
  1. Przeciwprostokątna: c=62+82=100=10.c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{.}
  2. Pole: P=12⋅6⋅8=24.P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{.}
  3. Okrąg opisany: R=c2=5.R = \frac{c}{2} = 5\text{.}
  4. Okrąg wpisany: p=6+8+102=12,p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12\text{,} więc r=2412=2.r = \frac{24}{12} = 2\text{.}

Odpowiedź: c=10,c = 10\text{,} P=24,P = 24\text{,} R=5,R = 5\text{,} r=2.r = 2\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Planimetria

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Dany jest równoległobok o bokach długości 33 i 44 oraz o kącie między nimi o mierze 120∘.120 ^{\circ}\text{.} Pole tego równoległoboku jest równe
  • A.12 12
  • B.123 12\sqrt{3}
  • C.6 6
  • D.63 6\sqrt{3}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (63 6\sqrt{3} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 21

Zadanie 2 · 2 pkt

Dany jest prostokąt o bokach aa i b,b\text{,} gdzie a>b.a>b\text{.} Obwód tego prostokąta jest równy 30.30\text{.} Jeden z boków prostokąta jest o 55 krótszy od drugiego. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami ....... oraz .........

A. {2ab=30a−b=5\begin{cases} 2ab=30 \\ a-b=5 \end{cases}
B. {2a+b=30a=5b\begin{cases} 2a + b=30 \\ a=5b \end{cases}
C. {2(a+b)=30b=a−5\begin{cases} 2(a+b)=30 \\ b=a-5 \end{cases}
D. {2a+2b=30b=5a\begin{cases} 2a+2b=30 \\ b=5a \end{cases}
E. {2a+2b=30a−b=5\begin{cases} 2a+2b=30 \\ a-b=5 \end{cases}
F. {a+b=30a=b+5\begin{cases} a+b=30 \\ a=b+5 \end{cases}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Odpowiedź C oraz E

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 11

Zadanie 3 · 1 pkt

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 63.6\sqrt{3}\text{.} Pole tego trójkąta jest równe
  • A.333\sqrt{3}
  • B.434\sqrt{3}
  • C.27327\sqrt{3}
  • D.36336\sqrt{3}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (36336\sqrt{3})

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 19

Zadanie 4 · 1 pkt

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe 439.\frac{4\sqrt{3}}{9}\text{.} Obwód tego trójkąta jest równy
  • A.4 4
  • B.2 2
  • C.43\frac{4}{3}
  • D.23 \frac{2}{3}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (4 4 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 19

Zadanie 5 · 1 pkt

Pole trójkąta równoramiennego jest równe 252.25\sqrt{2}\text{.} Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa 45∘.45^{\circ}\text{.} Każde z ramion tego trójkąta ma długość
  • A.102 10\sqrt{2}
  • B.52 5\sqrt{2}
  • C.55
  • D.10 10
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (10 10)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2020, zad. 18

Zadanie 6 · 1 pkt

Dany jest romb o boku długości 44 i kącie rozwartym 150∘.150^\circ\text{.} Pole tego rombu jest równe
  • A.8 8
  • B.12 12
  • C.83 8\sqrt{3}
  • D.16 16
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (8 8 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 16

Zadanie 7 · 1 pkt

Dany jest trójkąt o bokach długości: 25,2\sqrt{5}\text{,} \, 35,3\sqrt{5}\text{,} \, 45.4\sqrt{5}\text{.} Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
  • A.10,10\text{,} \, 15,15\text{,} \, 2020
  • B.20,20\text{,} \, 45,45\text{,} \, 8080
  • C.2,\sqrt{2}\text{,} \, 3,\sqrt{3}\text{,} \, 4\sqrt{4}
  • D.5,\sqrt{5}\text{,} \, 25,2\sqrt{5}\text{,} \, 353\sqrt{5}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (10,10\text{,} \, 15,15\text{,} \, 2020)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 15

Zadanie 8 · 2 pkt

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 2626cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14cm14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Obw=60cmObw=60cm

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2017, zad. 30

Rozwiąż kolejne zadania z planimetrii

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z planimetrii

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE