Matura z matematyki · poziom podstawowy

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Kombinatoryka odpowiada na pytanie „ile jest możliwości”. Podstawowe narzędzie to reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z kilku etapów, liczby możliwości w kolejnych etapach mnożymy. Trzeba tylko uważać na ograniczenia, np. że liczba nie zaczyna się od zera albo cyfry nie mogą się powtarzać.

Prawdopodobieństwo klasyczne to iloraz liczby zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń - pod warunkiem, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne. Przy dwóch rzutach kostką wynikami są pary uporządkowane, więc jest ich $36\text{,}$ a nie $21\text{.}$

Gdy łatwiej policzyć sytuacje „złe”, korzystamy ze zdarzenia przeciwnego: $P(A) = 1 - P(A')\text{.}$ Wynik zawsze musi leżeć w przedziale $\langle 0, 1 \rangle$ - to prosty test poprawności.

Najważniejsze wzory

Prawdopodobieństwo klasyczne
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
Zdarzenie przeciwne
$P(A') = 1 - P(A)$
Suma zdarzeń
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Liczba ustawień n elementów
$n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie co najmniej

10\text{.}

Wszystkich wyników (par uporządkowanych) jest $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\text{.}$
Sprzyjające: suma $10$ - $(4,6), (5,5), (6,4)\text{;}$ suma $11$ - $(5,6), (6,5)\text{;}$ suma $12$ - $(6,6)\text{.}$ Razem $6\text{.}$
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\text{.}$

Odpowiedź: $\frac{1}{6}$

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra

0\text{,}

jest

A. $45$
B. $50$
C. $54$
D. $81$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $45$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 27

Zadanie 2 · 1 pkt

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr

1, 3, 6, 8\text{,}

przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich takich kodów jest równa

A. $4$
B. $10$
C. $24$
D. $16$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $24$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 27

Zadanie 3 · 1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0\text{,}

5\text{,}

7

(np.

57075\text{,}

55555

), jest

A. $5^3$
B. $2\cdot 4^3$
C. $2 \cdot 3^4$
D. $3^5$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $2 \cdot 3^4$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 28

Zadanie 4 · 1 pkt

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez

5

jest

A. $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 2$
B. $9\cdot 10 \cdot 10 \cdot 1$
C. $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2$
D. $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $9\cdot 10 \cdot 10 \cdot 1$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 27

Zadanie 5 · 1 pkt

Z wierzchołków sześcianu

ABCDEFGH

losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu

ABCDEFGH\text{,}

jest równe

A. $\frac{1}{7}$
B. $\frac{4}{7}$
C. $\frac{1}{14}$
D. $\frac{3}{7}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $\frac{1}{7}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 26

Zadanie 6 · 1 pkt

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr:

1, 3, 5, 7, 9\text{,}

w których cyfry się nie powtarzają?

A. $10$
B. $15$
C. $20$
D. $25$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $20$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 21

Zadanie 7 · 1 pkt

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry

0, 2, 5

jest

A. $12$
B. $36$
C. $162$
D. $243$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $162$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 24

Zadanie 8 · 1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od

2018

i podzielnych przez

5\text{?}

A. $402$
B. $403$
C. $203$
D. $204$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $204$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 24

Rozwiąż kolejne zadania z prawdopodobieństwa

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z prawdopodobieństwa

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE