Matura z matematyki · poziom podstawowy

Równania i nierówności

Równanie liniowe rozwiązujemy, przenosząc niewiadome na jedną stronę. Równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ - przez wyróżnik $\Delta$ albo szybciej, gdy da się wyłączyć $x$ przed nawias lub użyć wzoru skróconego mnożenia. Równania wielomianowe wyższego stopnia sprowadzamy do iloczynu czynników.

Nierówność kwadratową rozwiązujemy w dwóch krokach: najpierw miejsca zerowe, potem szkic paraboli. Gdy $a > 0\text{,}$ ramiona idą w górę i wyrażenie jest nieujemne „na zewnątrz” pierwiastków; gdy $a < 0$ - odwrotnie. Rysunek zajmuje kilka sekund i chroni przed pomyleniem przedziałów.

W równaniach wymiernych (z niewiadomą w mianowniku) zaczynamy od dziedziny: mianownik nie może być zerem. Rozwiązanie, które wypada poza dziedzinę, trzeba odrzucić - to częsta strata punktu. Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy zwrot znaku.

Najważniejsze wzory

Wyróżnik
$\Delta = b^2 - 4ac$
Pierwiastki równania kwadratowego (Δ > 0)
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
Pierwiastek podwójny (Δ = 0)
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
Wzory Viète’a
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Rozwiąż nierówność

2x^2 - 3x - 2 \ge 0\text{.}

Wyróżnik: $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\text{,}$ $\sqrt{\Delta} = 5\text{.}$
Miejsca zerowe: $x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}\text{,}$ $x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2\text{.}$
Współczynnik $a = 2 > 0\text{,}$ więc parabola ma ramiona w górę i jest nad osią (lub na niej) poza przedziałem między pierwiastkami.

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right\rangle \cup \langle 2, +\infty)$

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Równania i nierówności

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Równanie

2x(x+3)(x^2+25)=0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania:

(-3)

oraz

0\text{.}

B. dwa rozwiązania:

(-3)

oraz

2\text{.}

C. trzy rozwiązania:

(-5)\text{,}

(-3)

oraz

0\text{.}

D. cztery rozwiązania:

(-5), (-3), 0

oraz

5\text{.}

A.dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0\text{.}$
B.dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $2\text{.}$
C.trzy rozwiązania: $(-5)\text{,}$ $(-3)$ oraz $0\text{.}$
D.cztery rozwiązania: $(-5), (-3), 0$ oraz $5\text{.}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (dwa rozwiązania: $(-3)$ oraz $0\text{.}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 7

Zadanie 2 · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

1 - \frac{3}{2}x < \frac{2}{3} - x

jest przedział

A. $\left( -\infty,-\frac{2}{3}\right)$
B. $\left( -\infty,\frac{2}{3}\right)$
C. $\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)$
D. $\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 6

Zadanie 3 · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

-2(x+3) \leq \frac{2-x}{3}

jest przedział

A. $(-\infty,-4]$
B. $(-\infty,4]$
C. $[-4,\infty)$
D. $[4,\infty)$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $[-4,\infty)$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 6

Zadanie 4 · 1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

\begin{cases} 11x-11y=1 \\ 22x+22y=-1 \end{cases}

jest para liczb:

x=x_0\text{,}

y=y_0\text{.}

Wtedy

A. $x_0>0$ i $y_0>0$
B. $x_0>0$ i $y_0<0$
C. $x_0<0$ i $y_0>0$
D. $x_0<0$ i $y_0<0$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $x_0>0$ i $y_0<0$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 6

Zadanie 5 · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{2-x}{2}-2x \geq 1

jest przedział

A. $\langle 0,+\infty)$
B. $(-\infty,0\rangle$
C. $(-\infty,5\rangle$
D. $\left(-\infty,\frac{1}{3}\right\rangle$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $(-\infty,0\rangle$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 6

Zadanie 6 · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3(1-x)>2(3x-1)-12x

jest przedział

A. $\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)$
B. $\left(-\infty,\frac{5}{3}\right)$
C. $\left(\frac{5}{3},+\infty\right)$
D. $\left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $\left(-\frac{5}{3},+\infty\right)$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 5

Zadanie 7 · 1 pkt

Równość

\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1

jest prawdziwa dla

A. $a=\frac{11}{20}$
B. $a=\frac{8}{9}$
C. $a=\frac{9}{8}$
D. $a=\frac{20}{11}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $a=\frac{20}{11}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 4

Zadanie 8 · 1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{1-2x}{2} > \frac{1}{3}

jest przedział

A. $(-\infty, \frac{1}{6})$
B. $(-\infty, \frac{2}{3})$
C. $(\frac{1}{6}, +\infty)$
D. $(\frac{2}{3}, +\infty)$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $(-\infty, \frac{1}{6})$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 5

Rozwiąż kolejne zadania z równań i nierówności

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z równań i nierówności

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE