Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne na maturze to przede wszystkim przekształcanie: wymnażanie nawiasów, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, rozkład na czynniki i skracanie wyrażeń wymiernych. Takie rachunki są w niemal każdym arkuszu, często ukryte w zadaniu z innego działu - w równaniu, funkcji albo dowodzie. Najczęściej korzystamy przy tym z wzorów skróconego mnożenia.

Najczęstszy błąd to zgubienie podwojonego iloczynu: (a+b)2(a + b)^2 to a2+2ab+b2,a^2 + 2ab + b^2\text{,} a nie a2+b2.a^2 + b^2\text{.} Drugi - zła kolejność przy odejmowaniu nawiasu. Gdy odejmujemy iloczyn, najpierw go wymnażamy w nawiasie, a dopiero potem zmieniamy znaki.

Wzory działają w obie strony. Rozpoznanie, że x2−9x^2 - 9 to (x−3)(x+3),(x - 3)(x + 3)\text{,} pozwala rozkładać wyrażenia na czynniki, skracać ułamki i rozwiązywać równania bez liczenia wyróżnika.

Najważniejsze wzory

  • Kwadrat sumy i różnicy

    (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

  • Różnica kwadratów

    a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

  • Sześcian sumy i różnicy

    (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3

  • Suma i różnica sześcianów

    a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Uprość wyrażenie (2x−3)2−(2x+3)(2x−3).(2x - 3)^2 - (2x + 3)(2x - 3)\text{.}
  1. Kwadrat różnicy: (2x−3)2=4x2−12x+9.(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\text{.}
  2. Różnica kwadratów: (2x+3)(2x−3)=4x2−9.(2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - 9\text{.}
  3. Odejmujemy cały nawias: 4x2−12x+9−4x2+9=−12x+18.4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + 9 = -12x + 18\text{.}
  4. Sprawdzenie dla x=1:x = 1\text{:} (−1)2−5⋅(−1)=6(-1)^2 - 5 \cdot (-1) = 6 i −12+18=6.-12 + 18 = 6\text{.}

Odpowiedź: −12x+18-12x + 18

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Wyrażenia algebraiczne

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej xx wartość wyrażenia (3x+2)2−(2x−3)2(3x+2)^2-(2x-3)^2 jest równa wartości wyrażenia
  • A.5x2−5 5x^2-5
  • B.5x2+13 5x^2+13
  • C.5x2+24x−5 5x^2+24x-5
  • D.5x2+24x−13 5x^2+24x-13
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (5x2+24x−5 5x^2+24x-5 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 4

Zadanie 2 · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej aa i dla każdej liczby rzeczywistej bb wartość wyrażenia (2a+b)2−(2a−b)2(2a+b)^2-(2a-b)^2 jest równa wartości wyrażenia
  • A.8a2 8a^2
  • B.8ab 8ab
  • C.−8ab -8ab
  • D.2b2 2b^2
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (8ab 8ab )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 5

Zadanie 3 · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej aa wyrażenie (2a−3)2−(2a+3)2 \left( 2a-3 \right)^{2} - \left( 2a + 3 \right)^{2} jest równe
  • A.−24a -24a
  • B.0 0
  • C.18 18
  • D.16a2−24a 16a^{2}-24a
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (−24a -24a )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 5

Zadanie 4 · 1 pkt

Liczba (28−32)2 \left( 2\sqrt{8} - 3\sqrt{2} \right)^2 jest równa
  • A.2 2
  • B.1 1
  • C.26 26
  • D.14 14
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (2 2 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 1

Zadanie 5 · 1 pkt

Wartość wyrażenie 2⋅(2−3)+3⋅(2−3)\sqrt{2} \cdot \left( \sqrt{2} - \sqrt{3} \right) + \sqrt{3} \cdot \left( \sqrt{2} - \sqrt {3} \right) jest równa
  • A.5−26 5-2\sqrt{6}
  • B.5 5
  • C.5+26 5+2\sqrt{6}
  • D.−1 -1
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (−1 -1 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2021, zad. 1

Zadanie 6 · 1 pkt

Wartość wyrażenia x2−6x+9 x^{2}-6x+9 dla x=3+3 x=\sqrt{3}+3 jest równa
  • A.1 1
  • B.3 3
  • C.1+23 1+2\sqrt{3}
  • D.1−23 1-2\sqrt{3}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (3 3 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 1

Zadanie 7 · 1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej xx wyrażenie (3x−2)2−(2x−3)(2x+3)(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3) jest po uproszczeniu jest równe
  • A.5x2−12x−5 5x^2-12x-5
  • B.5x2−13 5x^2-13
  • C.5x2−12x+13 5x^2-12x+13
  • D.5x2+5 5x^2+5
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (5x2−12x+13 5x^2-12x+13)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2019, zad. 11

Zadanie 8 · 1 pkt

Dla x=22+1x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1 oraz y=2−1y=\sqrt{2}-1 wartość wyrażenia x2−2xy+y2x^2-2xy+y^2 jest równa
  • A.4 4
  • B.1 1
  • C.2 \sqrt{2}
  • D.12 \frac{1}{\sqrt{2}}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (4 4 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2018, zad. 1

Rozwiąż kolejne zadania z wyrażeń algebraicznych

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z wyrażeń algebraicznych

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE