Matura z matematyki maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 15 - rozwiązanie

Zadanie 153 pkt

Ciąg

(a_n)

jest określony wzorem

a_n=3n+5

dla każdej liczby naturalnej

n\ge 1\text{.}

Trzywyrazowy ciąg

(a_1,a_9,a_k)

jest geometryczny. Oblicz

k\text{.}

Wskazówka

Oblicz $a_1$ i $a_9\text{,}$ potem użyj warunku $a_9^2=a_1\cdot a_k\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): 41

Rozwiązanie krok po kroku

Obliczamy wyrazy: $a_1=3\cdot 1+5=8\text{,}$ $a_9=3\cdot 9+5=32\text{.}$
W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem sąsiednich: $a_9^2=a_1\cdot a_k\text{.}$
$32^2=8\cdot a_k\text{,}$ więc $a_k=\frac{1024}{8}=128$ (iloraz $q=4\text{:}$ $8, 32, 128$ ).
$3k+5=128\text{,}$ czyli $3k=123\text{,}$ więc $k=41\text{.}$

Typowe błędy

Użycie własności ciągu arytmetycznego ( $2a_9=a_1+a_k$ ) zamiast geometrycznego.
Zatrzymanie się na $a_k=128$ bez wyznaczenia numeru wyrazu $k\text{.}$

Źródło: CKE, matura maj 2026 (poziom podstawowy), zad. 15