Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Geometria analityczna

Geometria analityczna przenosi figury do układu współrzędnych, dzięki czemu zamiast rysować, liczymy. Podstawowe narzędzia to wzór na długość odcinka (twierdzenie Pitagorasa we współrzędnych) i wzór na środek odcinka (średnie współrzędnych).

Prosta przez dwa punkty ma współczynnik kierunkowy równy ilorazowi przyrostów, tak jak w funkcji liniowej. Warunki równoległości i prostopadłości prostych też są te same: równe współczynniki kierunkowe albo ich iloczyn równy −1.-1\text{.}

Okrąg o środku S=(a,b)S = (a, b) i promieniu rr to zbiór punktów odległych od SS o r.r\text{.} Z równania (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 od razu odczytujemy środek - uwaga na znaki, bo (x+3)2(x + 3)^2 oznacza a=−3.a = -3\text{.}

Najważniejsze wzory

  • Długość odcinka

    ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

  • Środek odcinka

    S=(xA+xB2,yA+yB2)S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

  • Równanie okręgu

    (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

  • Odległość punktu od prostej Ax + By + C = 0

    d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Dane są punkty A=(−1,2)A = (-1, 2) i B=(3,−4).B = (3, -4)\text{.} Wyznacz środek odcinka AB,AB\text{,} jego długość i równanie prostej AB.AB\text{.}
  1. Środek: S=(−1+32,2+(−4)2)=(1,−1).S = \left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + (-4)}{2}\right) = (1, -1)\text{.}
  2. Długość: ∣AB∣=42+(−6)2=52=213.|AB| = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\text{.}
  3. Współczynnik kierunkowy: a=−4−23−(−1)=−32.a = \frac{-4 - 2}{3 - (-1)} = -\frac{3}{2}\text{.} Z punktu A:A\text{:} 2=−32⋅(−1)+b,2 = -\frac{3}{2} \cdot (-1) + b\text{,} więc b=12.b = \frac{1}{2}\text{.}
  4. Sprawdzenie w punkcie B:B\text{:} −32⋅3+12=−4.-\frac{3}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} = -4\text{.}

Odpowiedź: S=(1,−1),S = (1, -1)\text{,} ∣AB∣=213,|AB| = 2\sqrt{13}\text{,} prosta y=−32x+12.y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Geometria analityczna

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y) dany jest kwadrat ABCD,ABCD\text{,} w którym A=(4,−1).A=(4,-1)\text{.} Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S=(1,3).S=(1,3)\text{.} Przekątna kwadratu ABCDABCD ma długość
  • A.5 5
  • B.7 7
  • C.10 10
  • D.14 14
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (10 10 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 22

Zadanie 2 · 1 pkt

Okrąg K\mathcal{K} jest obrazem okręgu O\mathcal{O} w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Okrąg K\mathcal{K} jest określony równaniem
  • A.(x−1)2+(y+2)2=5 (x-1)^2+(y+2)^2=5
  • B.(x+1)2+(y+2)2=5 (x+1)^2+(y+2)^2=5
  • C.(x−1)2+(y−2)2=5 (x-1)^2+(y-2)^2=5
  • D.(x+1)2+(y−2)2=5 (x+1)^2+(y-2)^2=5
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ((x+1)2+(y−2)2=5 (x+1)^2+(y-2)^2=5 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2024, zad. 23.2

Zadanie 3 · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y) punkty A=(−1,5)A=(-1,5) oraz C=(3,−3)C=(3,-3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD.ABCD\text{.} Pole kwadratu ABCDABCD jest równe
  • A.810 8\sqrt{10}
  • B.165 16\sqrt{5}
  • C.40 40
  • D.80 80
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (40 40 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2023, zad. 27

Zadanie 4 · 1 pkt

Punkty K=(4,−10)K=(4,-10) i L=(b,2)L=(b,2) są końcami odcinka KL.KL\text{.} Pierwsza współrzędna środka odcinka KLKL jest równa (−12).(-12)\text{.} Wynika stąd, że
  • A.b=−28 b=-28
  • B.b=−14 b=-14
  • C.b=−24 b=-24
  • D.b=−10 b=-10
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (b=−28 b=-28 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 23

Zadanie 5 · 1 pkt

Punkt A=(3,−5)A=(3,-5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD,ABCD\text{,} a punkt M=(1,3)M=(1,3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu ABCDABCD jest równe
  • A.68 68
  • B.136 136
  • C.234 2\sqrt{34}
  • D.834 8\sqrt{34}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (136 136 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 25

Zadanie 6 · 1 pkt

Punkt BB jest obrazem punktu A=(−3,5)A=(-3,5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka ABAB jest równa
  • A.234 2\sqrt{34}
  • B.8 8
  • C.34 \sqrt{34}
  • D.12 12
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (234 2\sqrt{34} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 20

Zadanie 7 · 1 pkt

Dane są punkty o współrzędnych A=(−2,5)A=(-2,5) oraz B=(4,−1).B=(4,-1)\text{.} Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku ABAB jest równa
  • A.12 12
  • B.6 6
  • C.62 6\sqrt{2}
  • D.26 2\sqrt{6}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (62 6\sqrt{2})

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 20

Zadanie 8 · 1 pkt

Punkt K=(2,2)K=(2,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM,KLM\text{,} w którym ∣KM∣=∣LM∣.|KM|=|LM|\text{.} Odcinek MNMN jest wysokością trójkąta i N=(4,3).N=(4,3)\text{.} Zatem
  • A.L=(5,3) L=(5,3)
  • B.L=(6,4) L=(6,4)
  • C.L=(3,5) L=(3,5)
  • D.L=(4,6) L=(4,6)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (L=(6,4) L=(6,4) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 18

Rozwiąż kolejne zadania z geometrii analitycznej

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z geometrii analitycznej

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE