Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Ciągi arytmetyczne i geometryczne

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby rr (różnicy), a w geometrycznym - przez pomnożenie przez ten sam iloraz q.q\text{.} Rozpoznanie typu ciągu to pierwszy krok w każdym zadaniu.

Większość zadań sprowadza się do ułożenia równań z a1a_1 i rr (albo a1a_1 i qq) na podstawie podanych wyrazów. Przydatna własność: w ciągu arytmetycznym środkowy z trzech kolejnych wyrazów jest średnią arytmetyczną sąsiadów, a w geometrycznym jego kwadrat jest iloczynem sąsiadów.

Wzór na sumę nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy ich liczba. Dla ciągu geometrycznego wzór wymaga q≠1;q \ne 1\text{;} gdy q=1,q = 1\text{,} suma to po prostu n⋅a1.n \cdot a_1\text{.}

Najważniejsze wzory

  • Ciąg arytmetyczny - n-ty wyraz i suma

    an=a1+(n−1)r,Sn=a1+an2⋅na_n = a_1 + (n - 1)r, \qquad S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

  • Ciąg geometryczny - n-ty wyraz

    an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}

  • Ciąg geometryczny - suma (q ≠ 1)

    Sn=a1⋅1−qn1−qS_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}

  • Trzy kolejne wyrazy

    2b=a+c  (arytm.),b2=ac  (geom.)2b = a + c \ \ \text{(arytm.)}, \qquad b^2 = ac \ \ \text{(geom.)}

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

W ciągu arytmetycznym a1=3a_1 = 3 i r=4.r = 4\text{.} Oblicz a10a_{10} i sumę dziesięciu początkowych wyrazów.
  1. a10=a1+9r=3+9⋅4=39.a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9 \cdot 4 = 39\text{.}
  2. S10=a1+a102⋅10=3+392⋅10=21⋅10=210.S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{3 + 39}{2} \cdot 10 = 21 \cdot 10 = 210\text{.}

Odpowiedź: a10=39,a_{10} = 39\text{,} S10=210.S_{10} = 210\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Ciągi arytmetyczne i geometryczne

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 3 pkt

Wyznacz wartość m,m\text{,} dla której trzywyrazowy ciąg
(2m+11,m2+3,5−m) (2m+11,m^2+3,5-m)

jest arytmetyczny i malejący.
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: m=2,5m=2,5

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 15

Zadanie 2 · 2 pkt

Ciąg arytmetyczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1.n \geq 1\text{.} Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (−1),(-1)\text{,} a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (−165).(-165)\text{.} Oblicz różnicę tego ciągu.
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: r=−2r=-2

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 17

Zadanie 3 · 1 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=2n⋅(n+1)a_n=2^n \cdot (n+1) dla każdej liczby naturalnej n≥1.n \geq 1\text{.} Wyraz a4a_4 jest równy
  • A.64 64
  • B.40 40
  • C.48 48
  • D.80 80
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (80 80 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 15

Zadanie 4 · 1 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=2n2−30nna_n=\frac{2n^2-30n}{n} dla każdej liczby naturalnej n≥1.n\geq 1\text{.} Wtedy a7a_7 jest równy
  • A.(−196) (-196)
  • B.(−32)(-32)
  • C.(−26)(-26)
  • D.(−16)(-16)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ((−16)(-16))

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 13

Zadanie 5 · 1 pkt

Trzywyrazowy ciąg (15, 3x, 53)\left( 15,\, 3x,\, \frac{5}{3}\right) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że
  • A.x=35 x=\frac{3}{5}
  • B.x=45 x=\frac{4}{5}
  • C.x=1 x=1
  • D.x=53 x=\frac{5}{3}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (x=53 x=\frac{5}{3} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 13

Zadanie 6 · 1 pkt

Ciąg (an)\left( a_{n} \right) jest określony wzorem an=2n2a_{n}=2n^{2} dla n≥1.n\geq 1\text{.} Różnica a5−a4a_{5}-a_{4} jest równa
  • A.4 4
  • B.20 20
  • C.36 36
  • D.18 18
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (18 18 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 14

Zadanie 7 · 1 pkt

W ciągu arytmetycznym (an),(a_n)\text{,} określonym dla n≥1,n \geq 1\text{,} dane są dwa wyrazy: a1=7a_1=7 i a8=−49.a_8=-49\text{.} Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
  • A.−168 -168
  • B.−189 -189
  • C.−21 -21
  • D.−42 -42
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (−168 -168 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 11

Zadanie 8 · 1 pkt

Dany jest ciąg (an)(a_n) określony wzorem an=5−2n6a_n = \frac{5-2n}{6} dla n≥1.n \geq 1\text{.} Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=−13r=-\frac{1}{3} B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r=−2r=-2 C. geometryczny i jego iloraz jest równy q=−13q=-\frac{1}{3} D. geometryczny i jego iloraz jest równy q=56q=\frac{5}{6}
  • A.arytmetyczny i jego różnica jest równa r=−13r=-\frac{1}{3}
  • B.arytmetyczny i jego różnica jest równa r=−2r=-2
  • C.geometryczny i jego iloraz jest równy q=−13q=-\frac{1}{3}
  • D.geometryczny i jego iloraz jest równy q=56q=\frac{5}{6}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (arytmetyczny i jego różnica jest równa r=−13r=-\frac{1}{3})

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 11

Rozwiąż kolejne zadania z ciągów

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z ciągów

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE