Matura z matematyki maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 7 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): zadanie na dowód - ocenia się tok rozumowania.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyłączamy wspólny czynnik: $7n^2+21n=7n(n+3)\text{.}$ Liczba ma więc czynnik $7\text{.}$
2. Pokazujemy, że $n(n+3)$ jest parzyste. Liczby $n$ i $n+3$ różnią się o $3$ (liczbę nieparzystą), więc jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta.
3. Iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej jest parzysty, więc $n(n+3)=2k$ dla pewnego całkowitego $k\text{.}$
4. Stąd $7n^2+21n=7\cdot 2k=14k\text{,}$ czyli liczba jest podzielna przez $14\text{.}$ To kończy dowód.

Typowe błędy

• Sprawdzenie tezy na kilku przykładach ($n=1,2,3$) - to nie jest dowód i daje 0 pkt.
• Pokazanie tylko podzielności przez $7$ (albo tylko przez $2$) - za to jest najwyżej 1 pkt.
• Zapis $7n(n+3)=0$ zamiast rozkładu wyrażenia - równanie niczego nie dowodzi.