Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa ma wzór f(x)=ax+b,f(x) = ax + b\text{,} a jej wykresem jest prosta. Współczynnik aa (kierunkowy) mówi, o ile zmienia się wartość, gdy argument rośnie o 1:1\text{:} dla a>0a > 0 funkcja rośnie, dla a<0a < 0 maleje, dla a=0a = 0 jest stała. Wyraz wolny bb to punkt przecięcia z osią OY.OY\text{.}

Wzór prostej przez dwa punkty najłatwiej wyznaczyć, licząc najpierw aa jako iloraz przyrostów, a potem bb z podstawienia jednego punktu. Miejsce zerowe (dla a≠0a \ne 0) to x=−ba.x = -\frac{b}{a}\text{.}

Proste y=a1x+b1y = a_1x + b_1 i y=a2x+b2y = a_2x + b_2 są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy, a prostopadłe, gdy iloczyn współczynników wynosi −1.-1\text{.} Te dwa warunki wracają też w geometrii analitycznej.

Najważniejsze wzory

  • Współczynnik kierunkowy prostej przez A i B

    a=yB−yAxB−xAa = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

  • Miejsce zerowe

    x0=−ba(a≠0)x_0 = -\frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

  • Równoległość i prostopadłość

    a1=a2,a1⋅a2=−1a_1 = a_2, \qquad a_1 \cdot a_2 = -1

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A=(1,3)A = (1, 3) i B=(3,7).B = (3, 7)\text{.} Podaj jej miejsce zerowe.
  1. Współczynnik kierunkowy: a=7−33−1=2.a = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2\text{.}
  2. Podstawiamy punkt A:A\text{:} 3=2⋅1+b,3 = 2 \cdot 1 + b\text{,} więc b=1.b = 1\text{.}
  3. Miejsce zerowe: 2x+1=0,2x + 1 = 0\text{,} czyli x=−12.x = -\frac{1}{2}\text{.}

Odpowiedź: f(x)=2x+1,f(x) = 2x + 1\text{,} miejsce zerowe x=−12.x = -\frac{1}{2}\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Funkcja liniowa

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=(3−m)x−4.f(x)=(3-m)x-4\text{.} Funkcja ff nie ma miejsca zerowego dla mm równego
  • A.(−3) (-3)
  • B.0 0
  • C.3 3
  • D.4 4
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (3 3 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 13

Zadanie 2 · 1 pkt

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=(−2k+3)x+k−1,f(x)=(-2k+3)x+k-1\text{,} gdzie k∈I ⁣R.k\in{\rm I\!R}\text{.} Funkcja ff jest malejąca dla każdej liczby kk należącej do przedziału
  • A.(−∞,1) (-\infty,1)
  • B.(−∞,−32) \left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)
  • C.(1,+∞) (1,+\infty)
  • D.(32,+∞) \left(\frac{3}{2},+\infty\right)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ((32,+∞) \left(\frac{3}{2},+\infty\right) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 12

Zadanie 3 · 1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y) wykresy funkcji liniowych f(x)=(2m+3)x+5f(x)=(2m+3)x+5 oraz g(x)=−xg(x)=-x nie mają punktów wspólnych dla
  • A.m=−2 m=-2
  • B.m=−1 m=-1
  • C.m=1 m=1
  • D.m=2 m=2
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (m=−2 m=-2 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2023, zad. 11

Zadanie 4 · 1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej ff określonej wzorem f(x)=−13(x+3)+5f(x)=-\frac{1}{3}(x+3)+5 jest liczba
  • A.(−3) (-3)
  • B.92 \frac{9}{2}
  • C.5 5
  • D.12 12
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (12 12 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 11

Zadanie 5 · 1 pkt

Proste o równaniach y=3x−5y=3x-5 oraz y=m−32x+92y=\frac{m-3}{2}x+\frac{9}{2} są równoległe, gdy
  • A.m=1 m=1
  • B.m=3 m=3
  • C.m=6 m=6
  • D.m=9 m=9
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (m=9 m=9 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 9

Zadanie 6 · 1 pkt

Proste o równaniach y=(m−2)xy=(m-2)x oraz y=34x+7y=\frac{3}{4}x+7 są równoległe. Wtedy
  • A.m=−54 m=-\frac{5}{4}
  • B.m=23 m=\frac{2}{3}
  • C.m=114 m=\frac{11}{4}
  • D.m=103 m=\frac{10}{3}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (m=114 m=\frac{11}{4} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 13

Zadanie 7 · 1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej ff określonej wzorem f(x)=3(x+1)−63f(x)=3(x+1)-6\sqrt{3} jest liczba
  • A.3−63 3-6\sqrt{3}
  • B.1−63 1-6\sqrt{3}
  • C.23−1 2\sqrt{3} -1
  • D.23−13 2\sqrt{3}-\frac{1}{3}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (23−1 2\sqrt{3} -1 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 7

Zadanie 8 · 1 pkt

Funkcja liniowa ff określona jest wzorem f(x)=13x−1,f(x)=\frac{1}{3}x-1\text{,} dla wszystkich liczb rzeczywistych x.x\text{.} Wskaż zdanie prawdziwe A. Funkcja ff jest malejąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,13)P=(0,\frac{1}{3}) B. Funkcja ff jest malejąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,−1)P=(0,-1) C. Funkcja ff jest rosnąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,13)P=(0,\frac{1}{3}) D. Funkcja ff jest rosnąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,−1)P=(0,-1)
  • A.Funkcja ff jest malejąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,13)P=(0,\frac{1}{3})
  • B.Funkcja ff jest malejąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,−1)P=(0,-1)
  • C.Funkcja ff jest rosnąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,13)P=(0,\frac{1}{3})
  • D.Funkcja ff jest rosnąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,−1)P=(0,-1)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (Funkcja ff jest rosnąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,−1)P=(0,-1))

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 8

Rozwiąż kolejne zadania z funkcji liniowej

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z funkcji liniowej

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE