Matura z matematyki · poziom podstawowy

Potęgi i pierwiastki

Zadania z potęg prawie zawsze sprowadzają się do jednego ruchu: zapisać wszystkie liczby jako potęgi tej samej podstawy. Kiedy $4 = 2^2$ i $8 = 2^3\text{,}$ wyrażenie z kilkoma różnymi liczbami zamienia się w dodawanie i odejmowanie wykładników.

Pierwiastek to potęga o wykładniku ułamkowym: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\text{,}$ a $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\text{.}$ Dzięki temu te same wzory działają dla potęg i pierwiastków. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, a $\sqrt{a^2} = |a|\text{,}$ nie po prostu $a\text{.}$

Przy dodawaniu pierwiastków najpierw wyłączamy czynnik przed pierwiastek ( $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ), a potem dodajemy „podobne” wyrazy jak w algebrze. Usuwanie niewymierności z mianownika to mnożenie licznika i mianownika przez ten sam pierwiastek albo przez wyrażenie sprzężone.

Najważniejsze wzory

Mnożenie i dzielenie potęg
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Potęga potęgi i iloczynu
$(a^m)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n$
Wykładnik ujemny i ułamkowy
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
Pierwiastki
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}, \qquad \sqrt{a^2} = |a|$
Usuwanie niewymierności
$\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Oblicz

\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3}\text{.}

Zapisujemy wszystko jako potęgi dwójki: $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$ oraz $8^3 = (2^3)^3 = 2^9\text{.}$
Licznik: $2^5 \cdot 2^6 = 2^{11}\text{.}$
Dzielimy: $\frac{2^{11}}{2^9} = 2^{2} = 4\text{.}$

Odpowiedź: $4$

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Potęgi i pierwiastki

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Liczba

\left( \sqrt{32}-\sqrt{2} \right)^{2}

jest równa

A. $16$
B. $18$
C. $30$
D. $34$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $18$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 1

Zadanie 2 · 1 pkt

Liczba

\left( \frac{1}{16}\right)^{8} \cdot 8^{16}

jest równa

A. $2^{24}$
B. $2^{16}$
C. $2^{12}$
D. $2^{8}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $2^{16}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 2

Zadanie 3 · 1 pkt

Liczba

\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}

jest równa

A. $\left( -\frac{3}{2} \right)$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\left( -\frac{2}{3} \right)$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $\left( -\frac{3}{2} \right)$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 2

Zadanie 4 · 1 pkt

Liczba

3^{2+\frac{1}{4}}

jest równa

A. $3^{2} \cdot \sqrt[4]{3}$
B. $\sqrt[4]{3^{3}}$
C. $3^{2} + \sqrt[4]{3}$
D. $3^{2} + \sqrt{3^{4}}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $3^{2} \cdot \sqrt[4]{3}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 5

Zadanie 5 · 1 pkt

Liczba

100^{5} \cdot (0,1)^{-6}

jest równa

A. $10^{13}$
B. $10^{16}$
C. $10^{-1}$
D. $10^{-30}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $10^{16}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 1

Zadanie 6 · 1 pkt

Liczba

\frac{2^{50} \cdot 3^{40}}{36^{10}}

jest równa

A. $6^{70}$
B. $6^{45}$
C. $2^{30} \cdot 3^{20}$
D. $2^{10} \cdot 3^{20}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $2^{30} \cdot 3^{20}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 2

Zadanie 7 · 1 pkt

Liczba naturalna

n=2^{14} \cdot 5^{15}

w zapisie dziesiętnym ma

A. $14$ cyfr
B. $15$ cyfr
C. $16$ cyfr
D. $30$ cyfr

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $15$ cyfr)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 2

Zadanie 8 · 1 pkt

Liczba

\sqrt[3]{\frac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}

jest równa

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{9}{4}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $\frac{3}{2}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 2

Rozwiąż kolejne zadania z potęg i pierwiastków

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z potęg i pierwiastków

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE