Matura z matematyki maj 2026, poziom podstawowy, zadanie 21 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): zadanie na dowód - ocenia się tok rozumowania.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Oznaczmy $|\angle LMK|=2\alpha\text{.}$ Dwusieczna $MN$ dzieli go na dwa kąty: $|\angle KMN|=|\angle NML|=\alpha\text{.}$
2. Pole trójkąta $KNM$ ze wzoru z sinusem: $P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot|KM|\cdot|MN|\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}a\cdot|MN|\sin\alpha\text{.}$
3. Analogicznie $P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot|LM|\cdot|MN|\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}b\cdot|MN|\sin\alpha\text{.}$
4. Dzielimy: $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}a|MN|\sin\alpha}{\frac{1}{2}b|MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}$ (skracamy $|MN|$ i $\sin\alpha\ne 0$). To kończy dowód.

Typowe błędy

• Założenie bez uzasadnienia, że trójkąty mają wspólną wysokość z $M$ i od razu stosunek $\frac{|KN|}{|NL|}$ - trzeba jeszcze pokazać, że $\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{a}{b}$ (twierdzenie o dwusiecznej).
• Użycie różnych kątów w obu wzorach na pole - kąty przy $M$ są równe właśnie dzięki dwusiecznej.