Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c (z a≠0a \ne 0) ma za wykres parabolę. Znak aa decyduje o ramionach: w górę dla a>0,a > 0\text{,} w dół dla a<0.a < 0\text{.} Najważniejszy punkt paraboli to wierzchołek W=(p,q).W = (p, q)\text{.}

Ta sama funkcja ma trzy postaci. Ogólna ax2+bx+cax^2 + bx + c od razu pokazuje punkt przecięcia z osią OY,OY\text{,} kanoniczna a(x−p)2+qa(x - p)^2 + q - wierzchołek, a iloczynowa a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2) - miejsca zerowe. Zadanie często polega na przejściu z jednej postaci do drugiej.

Wartość najmniejsza (dla a>0a > 0) lub największa (dla a<0a < 0) na całej prostej to q.q\text{.} Na przedziale domkniętym trzeba dodatkowo porównać wartości na końcach przedziału - i sprawdzić, czy pp w ogóle do niego należy.

Najpierw ustal, o co pyta zadanie, i dobierz postać: wierzchołek i wartość najmniejsza - kanoniczna albo p=−b2a,p = -\frac{b}{2a}\text{,} miejsca zerowe - delta lub iloczynowa, monotoniczność - znak aa i położenie wierzchołka. Najczęstsze błędy to zgubiony minus we wzorze na pp oraz pomylenie minimum z maksimum bez sprawdzenia znaku a.a\text{.}

Najważniejsze wzory

  • Wierzchołek paraboli

    p=−b2a,q=−Δ4a=f(p)p = -\frac{b}{2a}, \qquad q = -\frac{\Delta}{4a} = f(p)

  • Postać kanoniczna

    f(x)=a(x−p)2+qf(x) = a(x - p)^2 + q

  • Postać iloczynowa (Δ ≥ 0)

    f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

  • Wyróżnik

    Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Dana jest funkcja f(x)=2x2−8x+6.f(x) = 2x^2 - 8x + 6\text{.} Wyznacz wierzchołek paraboli, miejsca zerowe i postać kanoniczną.
  1. p=−−82⋅2=2,p = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2\text{,} q=f(2)=8−16+6=−2,q = f(2) = 8 - 16 + 6 = -2\text{,} więc W=(2,−2).W = (2, -2)\text{.}
  2. Miejsca zerowe: 2x2−8x+6=0  ⟺  x2−4x+3=0  ⟺  (x−1)(x−3)=0,2x^2 - 8x + 6 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x - 1)(x - 3) = 0\text{,} czyli x=1x = 1 lub x=3.x = 3\text{.}
  3. Postać kanoniczna: f(x)=2(x−2)2−2.f(x) = 2(x - 2)^2 - 2\text{.} Sprawdzenie: 2(x2−4x+4)−2=2x2−8x+6.2(x^2 - 4x + 4) - 2 = 2x^2 - 8x + 6\text{.}

Odpowiedź: W=(2,−2),W = (2, -2)\text{,} miejsca zerowe 11 i 3,3\text{,} f(x)=2(x−2)2−2=2(x−1)(x−3).f(x) = 2(x - 2)^2 - 2 = 2(x - 1)(x - 3)\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Funkcja kwadratowa

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 3 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x,y) wykres funkcji kwadratowej ff przechodzi przez punkt (2,15).(2,15)\text{.} Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x=−1.x=-1\text{.} Jednym z miejsc zerowych funkcji ff jest liczba 1.1\text{.} Wyznacz wzór funkcji ff w postaci kanonicznej.
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: f(x)=3(x+1)2−12f(x)=3(x+1)^2-12

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2025, zad. 13

Zadanie 2 · 2 pkt

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f,f\text{,} ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y)(x,y) dokładnie dwa punkty wspólne: M=(0,18)M = (0, 18) oraz N=(3,0).N = (3, 0)\text{.} Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f.f\text{.}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: f(x)=2(x−3)2f(x)=2(x-3)^2

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2024, zad. 14

Zadanie 3 · 1 pkt

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej ff jest liczba (−5).(-5)\text{.} Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f,f\text{,} jest równa 3.3\text{.} Drugim miejscem zerowym funkcji ff jest liczba
  • A.11 11
  • B.1 1
  • C.(−1) (-1)
  • D.(−13) (-13)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (11 11 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 14

Zadanie 4 · 5 pkt

Wykres funkcji kwadratowej ff określonej wzorem f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ma z prostą o równaniu y=6y=6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A=(−5,0)A=(-5,0) i B=(3,0)B=(3,0) należą do wykresu funkcji f.f\text{.} Oblicz wartości współczynników a,ba,b oraz c.c\text{.}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: a=−38,a=-\frac{3}{8}\text{,} \, b=−34,b=-\frac{3}{4}\text{,} \, c=458c=\frac{45}{8}

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 35

Zadanie 5 · 1 pkt

Funkcja kwadratowa ff określona jest wzorem f(x)=−2(x+1)(x−3)f(x)=-2(x+1)(x-3) jest malejąca w przedziale
  • A.⟨1,+∞) \langle 1,+\infty)
  • B.(−∞,1⟩ (-\infty,1\rangle
  • C.(−∞,−8⟩(-\infty,-8\rangle
  • D.⟨−8,+∞) \langle -8,+\infty)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (⟨1,+∞) \langle 1,+\infty) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 12

Zadanie 6 · 1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej ff określonej wzorem f(x)=−x2+6x+4f(x)=-x^2+6x+4 jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,q).(3,q)\text{.} Liczba qq jest równa
  • A.44
  • B.77
  • C.99
  • D.1313
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (1313)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2020, zad. 9

Zadanie 7 · 4 pkt

Liczby rzeczywiste xx i zz spełniają warunek 2x+z=1.2x+z=1\text{.} Wyznacz takie wartości xx i z,z\text{,} dla których wyrażenie x2+z2+7xzx^2+z^2+7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: x=16,x=\frac{1}{6}\text{,} \, z=23,z=\frac{2}{3}\text{,} \, fmax=54f_{max}=\frac{5}{4}

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2019, zad. 33

Zadanie 8 · 1 pkt

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x)=−2(x+3)(x−5).f(x)=-2(x+3)(x-5)\text{.} liczby x1,x_1\text{,} x2x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f.f\text{.} Zatem
  • A.x1+x2=−8 x_1 + x_2 = -8
  • B.x1+x2=−2 x_1 + x_2 = -2
  • C.x1+x2=2 x_1 + x_2 = 2
  • D.x1+x2=8 x_1 + x_2 = 8
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (x1+x2=2 x_1 + x_2 = 2 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 6

Rozwiąż kolejne zadania z funkcji kwadratowej

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z funkcji kwadratowej

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE