Matura z matematyki · poziom podstawowy

Stereometria

Stereometria to geometria brył. Prawie każde zadanie sprowadza się do znalezienia w bryle odpowiedniego trójkąta prostokątnego - np. z wysokością bryły, wysokością ściany bocznej i fragmentem podstawy - i zastosowania twierdzenia Pitagorasa lub trygonometrii.

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość, a ostrosłupa - jedna trzecia tego iloczynu. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstaw i pola powierzchni bocznej; w ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Walec, stożek i kula powstają przez obrót figury płaskiej. Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a walca - prostokąt; te przekroje pozwalają przenieść zadanie na płaszczyznę.

Najważniejsze wzory

Objętość graniastosłupa i ostrosłupa
$V = P_p \cdot H, \qquad V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$
Walec
$V = \pi r^2 H, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$
Stożek
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H, \qquad P_c = \pi r^2 + \pi r l$
Kula
$V = \frac{4}{3}\pi r^3, \qquad P = 4\pi r^2$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy

6

i wysokość

4\text{.}

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Podstawa to kwadrat o polu $36\text{,}$ więc $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\text{.}$
Wysokość ściany bocznej $h$ to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $4$ (wysokość bryły) i $3$ (połowa krawędzi podstawy): $h = \sqrt{16 + 9} = 5\text{.}$
Pole boczne: $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 60\text{.}$ Pole całkowite: $36 + 60 = 96\text{.}$

Odpowiedź: $V = 48\text{,}$ $P_c = 96\text{.}$

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Stereometria

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 3 pkt

Tworząca stożka ma długość

8\text{.}

Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę

120^{\circ}\text{.}

Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $V=64\pi$ $[\,$ j $\,]^3$

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 25

Zadanie 2 · 1 pkt

Ostrosłup prawidłowy ma

2024

ściany boczne. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

A. $2025$
B. $2026$
C. $4048$
D. $4052$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $4048$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2024, zad. 25

Zadanie 3 · 1 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość

15\text{.}

Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

\alpha

takim, że

\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}\text{.}

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

A. $15\sqrt{2}$
B. $45$
C. $5\sqrt{2}$
D. $10$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $45$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 25

Zadanie 4 · 1 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości

7

cm i

10

cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej o

2

cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

A. $560$ cm $^{3}$
B. $280$ cm $^{3}$
C. $\frac{280}{3}$ cm $^{3}$
D. $\frac{560}{3}$ cm $^{3}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $280$ cm $^{3}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 25

Zadanie 5 · 1 pkt

Graniastosłup prawidłowy ma

36

krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa

4\text{.}

Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe

A. $176$
B. $192$
C. $224$
D. $288$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $192$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2021, zad. 25

Zadanie 6 · 1 pkt

Przekątna sześcianu ma długość

4\sqrt{3}\text{.}

Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

A. $96$
B. $24\sqrt{3}$
C. $192$
D. $16\sqrt{3}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $96$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 24

Zadanie 7 · 1 pkt

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe

4\text{.}

Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

A. $8$
B. $4$
C. $16$
D. $12$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $12$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 22

Zadanie 8 · 1 pkt

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa

27\pi\text{.}

Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

A. $9$
B. $6$
C. $3$
D. $2$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $3$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2018, zad. 20

Rozwiąż kolejne zadania ze stereometrii

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania ze stereometrii

Powiązane działy

Wszystkie działy · Arkusze CKE