Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Trygonometria

W trójkącie prostokątnym sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, cosinus - przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej, a tangens - przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie.

Najważniejsza zależność to jedynka trygonometryczna sin⁡2α+cos⁡2α=1.\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\text{.} Pozwala z jednej funkcji wyznaczyć pozostałe. Dla kąta ostrego wszystkie trzy funkcje są dodatnie, więc przy wyciąganiu pierwiastka bierzemy wynik dodatni.

Wartości dla kątów 30∘,30^\circ\text{,} 45∘45^\circ i 60∘60^\circ są w tablicach CKE, ale warto je rozumieć: wynikają z połowy trójkąta równobocznego i z połowy kwadratu. Przydaje się też związek sin⁡α=cos⁡(90∘−α).\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\text{.}

Najważniejsze wzory

  • Jedynka trygonometryczna

    sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

  • Tangens

    tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

  • Kąty dopełniające

    sin⁡(90∘−α)=cos⁡α,cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

  • Wartości szczególne

    sin⁡30∘=12,sin⁡45∘=22,sin⁡60∘=32\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡α=35.\sin\alpha = \frac{3}{5}\text{.} Oblicz cos⁡α\cos\alpha i tg⁡α.\operatorname{tg}\alpha\text{.}
  1. Z jedynki trygonometrycznej: cos⁡2α=1−925=1625.\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\text{.}
  2. Kąt jest ostry, więc cos⁡α>0\cos\alpha > 0 i cos⁡α=45.\cos\alpha = \frac{4}{5}\text{.}
  3. tg⁡α=3/54/5=34.\operatorname{tg}\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}\text{.}

Odpowiedź: cos⁡α=45,\cos\alpha = \frac{4}{5}\text{,} tg⁡α=34.\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Trygonometria

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Liczba sin⁡325∘+sin⁡25∘⋅cos⁡225∘cos⁡25∘\frac{\sin^3 25^{\circ}+\sin 25^{\circ} \cdot \cos^2 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ}} jest równa
  • A.sin⁡25∘ \sin 25^{\circ}
  • B.cos⁡25∘ \cos 25^{\circ}
  • C.tg⁡25∘ \operatorname{tg} 25^{\circ}
  • D.1 1
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (tg⁡25∘ \operatorname{tg} 25^{\circ} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2025, zad. 17

Zadanie 2 · 1 pkt

Liczba sin⁡320∘+cos⁡220∘⋅sin⁡20∘\sin ^{3} 20^{\circ}+\cos^{2}20^{\circ}\cdot \sin 20^{\circ} jest równa
  • A.cos⁡20∘ \cos 20^{\circ}
  • B.sin⁡20∘ \sin 20^{\circ}
  • C.tg⁡20∘ \operatorname{tg} 20^{\circ}
  • D.sin⁡20∘⋅cos⁡20∘ \sin 20^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (sin⁡20∘ \sin 20^{\circ} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 19

Zadanie 3 · 1 pkt

Dla każdego kąta ostrego α\alpha wyrażenie sin⁡4α+sin⁡2α⋅cos⁡2α\sin ^{4}\alpha + \sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2} \alpha jest równe
  • A.sin⁡2α \sin ^{2} \alpha
  • B.sin⁡6α⋅cos⁡2α \sin ^{6} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha
  • C.sin⁡4α+1 \sin ^{4} \alpha +1
  • D.sin⁡2α⋅(sin⁡α+cos⁡α)⋅(sin⁡α−cos⁡α) \sin ^{2} \alpha \cdot (\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha-\cos\alpha)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A (sin⁡2α \sin ^{2} \alpha )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 19

Zadanie 4 · 1 pkt

Liczba cos⁡12∘⋅sin⁡78∘+sin⁡12∘⋅cos⁡78∘\cos 12^{\circ} \cdot \sin 78^{\circ} + \sin 12^{\circ} \cdot \cos 78^{\circ} jest równa
  • A.12 \frac{1}{2}
  • B.22 \frac{\sqrt{2}}{2}
  • C.32 \frac{\sqrt{3}}{2}
  • D.11
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (11 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 16

Zadanie 5 · 1 pkt

Dla każdego kąta ostrego α\alpha iloczyn cos⁡α1−sin⁡2α⋅1−cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos\alpha}{1-\sin^{2}\alpha}\cdot\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha} jest równy
  • A.sin⁡α \sin\alpha
  • B.tg⁡α \operatorname{tg}\alpha
  • C.cos⁡α \cos\alpha
  • D.sin⁡2α \sin^{2}\alpha
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (tg⁡α \operatorname{tg}\alpha )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 16

Zadanie 6 · 1 pkt

Kąt α\alpha jest ostry oraz sin⁡α=255.\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{.} Wtedy
  • A.cos⁡α=525 \cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt{5}}
  • B.cos⁡α=55 \cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}
  • C.cos⁡α=15 \cos\alpha=\frac{1}{5}
  • D.cos⁡α=45 \cos\alpha=\frac{4}{5}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (cos⁡α=55 \cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2020, zad. 17

Zadanie 7 · 1 pkt

Sinus kąta ostrego α\alpha jest równy 45.\frac{4}{5}\text{.} Wtedy
  • A.cos⁡α=54 \cos \alpha = \frac{5}{4}
  • B.cos⁡α=15\cos \alpha =\frac{1}{5}
  • C.cos⁡α=925\cos \alpha = \frac{9}{25}
  • D.cos⁡α=35\cos \alpha = \frac{3}{5}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (cos⁡α=35\cos \alpha = \frac{3}{5} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 13

Zadanie 8 · 1 pkt

Liczba 1−tg⁡40∘1- \operatorname{tg} 40^\circ jest A. ujemna B. dodatnia, ale mniejsza od 0,10,1 C. większa od 0,1,0,1\text{,} ale mniejsza od 0,50,5 D. większa od 0,5
  • A.ujemna
  • B.dodatnia, ale mniejsza od 0,10,1
  • C.większa od 0,1,0,1\text{,} ale mniejsza od 0,50,5
  • D.większa od 0,5
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (większa od 0,1,0,1\text{,} ale mniejsza od 0,50,5)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2018, zad. 15

Rozwiąż kolejne zadania z trygonometrii

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z trygonometrii

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE