Matura z matematyki · poziom podstawowy

Logarytmy

Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę. $\log_2 8 = 3\text{,}$ bo $2^3 = 8\text{.}$ Podstawa musi być dodatnia i różna od $1\text{,}$ a liczba logarytmowana - dodatnia.

Większość zadań maturalnych z logarytmów rozwiązuje się z definicji albo jednym z trzech wzorów: suma logarytmów to logarytm iloczynu, różnica - logarytm ilorazu, a wykładnik liczby logarytmowanej można „wyciągnąć” przed logarytm. Wzory działają tylko przy tej samej podstawie.

Typowa pułapka: $\log_a(x + y)$ NIE jest równe $\log_a x + \log_a y\text{.}$ Wzór dotyczy iloczynu, nie sumy. Warto też pamiętać, że $\log_a 1 = 0$ i $\log_a a = 1$ dla każdej dopuszczalnej podstawy.

Najważniejsze wzory

Definicja
$\log_a b = c \iff a^c = b \qquad (a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0)$
Suma i różnica
$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy), \qquad \log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$
Potęga
$\log_a x^n = n \log_a x$
Zmiana podstawy
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Oblicz

\log_2 48 - \log_2 3\text{.}

Obie liczby mają tę samą podstawę, więc różnicę zamieniamy na logarytm ilorazu: $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \frac{48}{3}\text{.}$
$\frac{48}{3} = 16\text{,}$ więc liczymy $\log_2 16\text{.}$
$2^4 = 16\text{,}$ zatem $\log_2 16 = 4\text{.}$

Odpowiedź: $4$

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Logarytmy

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Liczba

\log_{3}108 - 2\log_{3}2

jest równa

A. $3$
B. $9$
C. $\log_{3}104$
D. $2\log{3}54$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $3$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2025, zad. 3

Zadanie 2 · 1 pkt

Liczba

\log_{\sqrt{3}} 9

jest równa

A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $9$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $4$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2024, zad. 4

Zadanie 3 · 1 pkt

Liczba

\log_{9} 27 + \log_{9} 3

jest równa

A. $81$
B. $9$
C. $4$
D. $2$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $2$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2023, zad. 4

Zadanie 4 · 1 pkt

Liczba

4 \log_{4} 2 + 2 \log_{4} 8

jest równa

A. $6 \log_{4} 10$
B. $16$
C. $5$
D. $6 \log_{4} 16$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $5$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2022, zad. 3

Zadanie 5 · 1 pkt

Suma

2\log \sqrt{10} + \log 10^3

jest równa

A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $5$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $4$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 4

Zadanie 6 · 1 pkt

Liczba

\log_{5} \sqrt{125}

jest równa

A. $\frac{2}{3}$
B. $2$
C. $3$
D. $\frac{3}{2}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $\frac{3}{2}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 3

Zadanie 7 · 1 pkt

Liczba

\log_{\sqrt{2}} 2

jest równa

A. $2$
B. $4$
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{1}{2}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $2$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 1

Zadanie 8 · 1 pkt

Liczba

2 \log_3 6 - \log_3 4

jest równa

A. $4$
B. $2$
C. $2\log_3 2$
D. $\log_3 8$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $2$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 1

Rozwiąż kolejne zadania z logarytmów

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z logarytmów

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE