Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Funkcje i ich własności

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi xx z dziedziny dokładnie jedną wartość f(x).f(x)\text{.} Dziedzina to zbiór dopuszczalnych argumentów, a zbiór wartości - wszystkie wartości, jakie funkcja przyjmuje.

Wyznaczając dziedzinę z wzoru, szukamy „zakazów”: mianownik różny od zera, wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym nieujemne, liczba logarytmowana dodatnia. Miejsce zerowe to argument, dla którego f(x)=0f(x) = 0 - ale tylko taki, który należy do dziedziny.

Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy większym argumentom odpowiadają większe wartości, a malejąca - gdy mniejsze. Wiele zadań z tego działu dotyczy wykresu; zadania z rysunkiem pomijamy na tej stronie, bo bez wykresu nie da się ich rozwiązać.

Najważniejsze wzory

  • Miejsce zerowe

    x0∈Df oraz f(x0)=0x_0 \in D_f \ \text{oraz} \ f(x_0) = 0

  • Funkcja rosnąca w przedziale

    x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

  • Przesunięcie wykresu o wektor [p, q]

    y=f(x−p)+qy = f(x - p) + q

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x)=x2−4x+2.f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}\text{.}
  1. Mianownik nie może być zerem: x+2≠0,x + 2 \ne 0\text{,} więc Df=R∖{−2}.D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\text{.}
  2. Licznik równy zero: x2−4=0,x^2 - 4 = 0\text{,} czyli x=−2x = -2 lub x=2.x = 2\text{.}
  3. Liczba −2-2 nie należy do dziedziny, więc ją odrzucamy.

Odpowiedź: Df=R∖{−2},D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\text{,} jedno miejsce zerowe: x=2.x = 2\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Funkcje i ich własności

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział
  • A.(−∞,−2] (-\infty,-2]
  • B.[1,+∞) [1,+\infty)
  • C.[−1,3] [-1,3]
  • D.[−2,+∞) [-2,+\infty)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ([−2,+∞) [-2,+\infty) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2024, zad. 12.1

Zadanie 2 · 1 pkt

Funkcja ff jest określona dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem f(x)=x−kx2+1,f(x)=\frac{x-k}{x^2+1}\text{,} gdzie kk jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2.f(1)=2\text{.} Wartość współczynnika kk we wzorze tej funkcji jest równa
  • A.(−3) (-3)
  • B.3 3
  • C.(−4) (-4)
  • D.4 4
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ((−3) (-3) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2023, zad. 12

Zadanie 3 · 1 pkt

Punkt A=(1,2)A=(1,2) należy do wykresu funkcji f,f\text{,} określonej wzorem f(x)=(m2−3)x3−m2+m+1f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1 dla każdej liczby rzeczywistej x.x\text{.} Wtedy
  • A.m=−4 m=-4
  • B.m=−2 m=-2
  • C.m=0 m=0
  • D.m=4 m=4
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (m=4 m=4 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2022, zad. 8

Zadanie 4 · 1 pkt

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=x22x−2f(x)=\frac{x^2}{2x-2} dla każdej liczby rzeczywistej x≠1.x\neq 1\text{.} Wtedy dla argumentu x=3−1x=\sqrt{3}-1 wartość funkcji ff jest równa
  • A.13−1 \frac{1}{\sqrt{3}-1}
  • B.−1 -1
  • C.1 1
  • D.13−2 \frac{1}{\sqrt{3}-2}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (−1 -1 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 10

Zadanie 5 · 1 pkt

Największa wartość funkcji ff w przedziale ⟨1,4⟩\langle 1,4 \rangle jest równa
  • A.−3-3
  • B.00
  • C.11
  • D.22
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (11)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 8

Zadanie 6 · 1 pkt

Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział
  • A.(−∞;0⟩ (-\infty;0 \rangle
  • B.⟨0,4⟩ \langle 0,4 \rangle
  • C.⟨−4,+∞) \langle -4, +\infty)
  • D.⟨4,+∞) \langle 4,+\infty)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (⟨−4,+∞) \langle -4, +\infty) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2019, zad. 8

Zadanie 7 · 1 pkt

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=−2(x+2)−1(x−3)2f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠−2.x \neq -2\text{.} Wartość funkcji ff dla argumentu 22 jest równa
  • A.−8 -8
  • B.−12 -\frac{1}{2}
  • C.12 \frac{1}{2}
  • D.8 8
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (−12 -\frac{1}{2})

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2018, zad. 9

Zadanie 8 · 1 pkt

Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział:
  • A.(−∞,−2⟩ (-\infty, -2 \rangle
  • B.⟨−2,4⟩ \langle -2,4 \rangle
  • C.⟨4,+∞) \langle 4,+\infty)
  • D.(−∞,9⟩ (-\infty,9 \rangle
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ((−∞,9⟩ (-\infty,9 \rangle )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2016, zad. 10

Rozwiąż kolejne zadania z własności funkcji

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z własności funkcji

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE