Liczby rzeczywiste - zbiory N, C, W, NW, R i zadania

W polskich podręcznikach często spotkasz litery $C$, $W$ i $NW$. Informator CKE do matury podaje jednak oznaczenia międzynarodowe: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$ - warto rozpoznawać oba zapisy.

Zbiory są „zawarte jeden w drugim”: $N\subset C\subset W\subset R$. Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita jest wymierna, każda wymierna jest rzeczywista. Liczby niewymierne są osobną częścią: $R=W\cup NW$, a żadna liczba nie jest jednocześnie wymierna i niewymierna.

Czy zero jest liczbą naturalną? W polskiej szkole zwykle przyjmuje się, że tak: $N=\{0,1,2,\dots \}$. Niektóre książki zaczynają jednak od jedynki, więc jeśli w zadaniu ma to znaczenie, czytaj treść uważnie.

Jak sprawdzić, do jakiego zbioru należy liczba

Najpierw uprość liczbę, dopiero potem oceniaj. Wiele liczb „wygląda” na niewymierne, a po uproszczeniu okazuje się całkowitymi.

1. Policz, co się da: pierwiastki z kwadratów, ułamki, potęgi.
2. Jeśli wyszła liczba całkowita, sprawdź, czy jest nieujemna - wtedy jest też naturalna.
3. Jeśli wyszedł ułamek $\frac{p}{q}$ albo rozwinięcie skończone lub okresowe - liczba jest wymierna.
4. Jeśli zostaje pierwiastek z liczby, która nie jest kwadratem (albo $\pi$) - liczba jest niewymierna.

Każda liczba z tej tabeli jest rzeczywista. Więcej o samym podziale na wymierne i niewymierne (rozwinięcia dziesiętne, zamiana ułamka okresowego na zwykły) przeczytasz w tekście liczby wymierne i niewymierne.

Czy pierwiastki to liczby rzeczywiste?

Prawie zawsze tak. Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej, np. $\sqrt{10}$ albo $\sqrt{0,49}=0,7$, jest liczbą rzeczywistą. Pierwiastek sześcienny istnieje z każdej liczby, także ujemnej: $\sqrt[3]{-64}=-4$.

Wyjątek: pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą. Tak piszą też „Wybrane wzory matematyczne” CKE. Wyrażenia $\sqrt{-9}$ czy $\sqrt[4]{-16}$ nie mają w szkole sensu, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego. Dlatego w równaniach z pierwiastkiem zaczynasz od założenia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest $\ge 0$.

Pierwiastki z liczb, które nie są kwadratami, są niewymierne - ale nadal rzeczywiste. Jak na nich liczyć, opisujemy w tekście działania na liczbach niewymiernych.

Działania w zbiorach liczb

Nie każde działanie „nie wypuszcza” poza zbiór. Ta tabela pomaga w zadaniach typu prawda/fałsz:

Najważniejszy wniosek: wynik działania na dwóch liczbach wymiernych jest zawsze wymierny, a na dwóch niewymiernych - może wyjść cokolwiek. Dzielenia przez zero nie wykonuje się w żadnym zbiorze.

Oś liczbowa i przedziały

Liczby rzeczywiste wypełniają całą oś liczbową - bez dziur. Dlatego zbiory rozwiązań nierówności zapisuje się jako przedziały:

Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły. W informatorze CKE przedziały domknięte zapisuje się też nawiasami kwadratowymi, np. $[2,5]$ - oba zapisy są poprawne.

Z przedziałami łączy się wartość bezwzględna: $|x-a|$ to odległość liczby $x$ od $a$ na osi. Nierówność $|x-1|\le 2$ oznacza więc „liczby odległe od $1$ o co najwyżej $2$”, czyli przedział $⟨-1,3⟩$. Więcej zadań tego typu znajdziesz w dziale wartość bezwzględna.

Liczby rzeczywiste - zadania maturalne

Matura, maj 2025, zadanie 1

Liczba $(\sqrt{32}-\sqrt{2}{)}^2$ jest równa: A. $16$, B. $18$, C. $30$, D. $34$.

Rozwiązanie. $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$, więc $(4\sqrt{2}-\sqrt{2}{)}^2=(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18$. Odpowiedź: B. Zauważ, że z dwóch liczb niewymiernych wyszła liczba naturalna.

Matura, czerwiec 2013, zadanie 3

Przedział $⟨-1,3⟩$ jest opisany nierównością: A. $|x+1|\ge 2$, B. $|x+1|\le 2$, C. $|x-1|\le 2$, D. $|x-1|\ge 2$.

Rozwiązanie. Środek przedziału to $\frac{-1+3}{2}=1$, a każdy koniec leży w odległości $2$ od środka. Liczby z przedziału są odległe od $1$ o co najwyżej $2$: $|x-1|\le 2$. Odpowiedź: C.

Zadanie typu maturalnego: szacowanie

Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{50}$?

Rozwiązanie. $7^2=49<50<64=8^2$, więc $7<\sqrt{50}<8$. Takie szacowanie przydaje się, gdy trzeba wskazać, do którego przedziału należy liczba - bez kalkulatora albo z kalkulatorem prostym.

Zadanie typu maturalnego: liczba niewymierna

Która z liczb jest niewymierna: A. $\sqrt{1,44}$, B. $\sqrt[3]{-8}$, C. $\sqrt{18}-\sqrt{2}$, D. $\sqrt{0,09}$?

Rozwiązanie. A: $\sqrt{1,44}=1,2$. B: $-2$. C: $3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ - niewymierna. D: $\sqrt{0,09}=0,3$. Odpowiedź: C. Każdą z liczb najpierw upraszczasz - dopiero wtedy widać, która jest niewymierna.

Liczby rzeczywiste - test

Oceń, czy zdanie jest prawdziwe (P), czy fałszywe (F).

1. Każda liczba całkowita jest wymierna.
2. Liczba $\sqrt{36}$ jest niewymierna.
3. Suma dwóch liczb niewymiernych zawsze jest niewymierna.
4. $0,(7)$ jest liczbą wymierną.
5. $\sqrt{-25}=-5$.
6. Liczba $\pi$ jest liczbą rzeczywistą.
7. Iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i liczby niewymiernej jest niewymierny.
8. Do przedziału $(2,5⟩$ należy liczba $2$.
9. $\sqrt[3]{-125}$ jest liczbą całkowitą.
10. Rozwiązaniem nierówności $|x|<4$ jest przedział $(-4,4)$.

Odpowiedzi: 1) P. 2) F, bo $\sqrt{36}=6$. 3) F, np. $\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$. 4) P, $0,(7)=\frac{7}{9}$. 5) F - taki pierwiastek nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych. 6) P. 7) P. 8) F, nawias okrągły oznacza, że $2$ nie należy. 9) P, to $-5$. 10) P.

Więcej pytań z tego działu, z podpowiedziami i sprawdzaniem odpowiedzi, rozwiążesz w treningu na zdaje.com.

Co z tego działu jest na maturze

Podstawa programowa dla poziomu podstawowego zaczyna się od działu „Liczby rzeczywiste”. Uczeń ma m.in. wykonywać działania (także potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych, stosować własności pierwiastków dowolnego stopnia, posługiwać się przedziałami i wartością bezwzględną oraz liczyć procent składany. W arkuszu wygląda to zwykle tak:

• uproszczenie wyrażenia z pierwiastkami lub potęgami - zobacz dział potęgi i pierwiastki i tekst o notacji wykładniczej,
• wskazanie przedziału albo nierówności z wartością bezwzględną,
• procenty i lokaty - dział procenty,
• logarytmy - dział logarytmy,
• wykazanie, że liczba jest wymierna, z użyciem wzorów skróconego mnożenia.

To zadania za 1-2 punkty, które często otwierają arkusz. Przy progu 15 punktów na 50 to dobre miejsce na pierwsze pewne punkty - więcej w tekście ile punktów trzeba, żeby zdać maturę z matematyki. Jeśli zastanawiasz się, czy wszyscy w Polsce dostają te same zadania, przeczytaj czy arkusze maturalne są takie same. Wszystkie działy z zadaniami CKE są na stronie zadania maturalne z matematyki.