Przejdź do treści
zdaje.com
Przejdź do platformy
Tematy

Notacja wykładnicza - zapis, mnożenie, dodawanie, zadania

Notacja wykładnicza krok po kroku: jak zapisać liczbę w postaci a · 10^k, jak mnożyć, dzielić, dodawać i odejmować takie liczby. Przykłady i zadania maturalne.

6 min czytania
zdaje.com

Opracowanie: zdaje.com · Aktualizacja:

Ucz się, a nie tylko czytaj
Kursy + AI asystent + korepetycje — wszystko na zdaje.com
Ćwicz potęgi na zadaniach CKE

Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci a⋅10ka \cdot 10^ka⋅10k, gdzie 1≤a<101 \le a < 101≤a<10, a kkk jest liczbą całkowitą. Dzięki niej bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujesz krótko: odległość Ziemi od Słońca to około 1,5⋅1081{,}5 \cdot 10^81,5⋅108 km zamiast 150 000 000150\,000\,000150000000 km. Notację wykładniczą poznaje się w szkole podstawowej (klasy 7-8), ale zadania z nią pojawiały się też na maturze z matematyki. Poniżej: jak zapisywać liczby, jak na nich liczyć i zadania z rozwiązaniami.

Co to jest notacja wykładnicza

Liczba w notacji wykładniczej składa się z dwóch części:

a⋅10k,1≤a<10,k∈Za \cdot 10^k, \qquad 1 \le a < 10, \quad k \in \mathbb{Z}a⋅10k,1≤a<10,k∈Z
  • aaa to mantysa (współczynnik) - liczba z jedną cyfrą niezerową przed przecinkiem,
  • 10k10^k10k to potęga dziesięciu, która mówi, o ile miejsc przesunąć przecinek.

Dodatnie kkk oznacza liczbę dużą, ujemne kkk - liczbę mniejszą od 1. Przypomnienie: 10−3=11000=0,00110^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}00110−3=10001​=0,001.

Warunek 1≤a<101 \le a < 101≤a<10 jest ważny. Zapis 12,5⋅10312{,}5 \cdot 10^312,5⋅103 jest poprawny rachunkowo, ale to nie jest notacja wykładnicza - poprawnie: 1,25⋅1041{,}25 \cdot 10^41,25⋅104. Podobnie 0,48⋅10−2=4,8⋅10−30{,}48 \cdot 10^{-2} = 4{,}8 \cdot 10^{-3}0,48⋅10−2=4,8⋅10−3.

Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej

Duże liczby. Przesuwasz przecinek w lewo, aż przed nim zostanie jedna cyfra. Liczba przesunięć to wykładnik kkk (dodatni).

384 400=3,844⋅105384\,400 = 3{,}844 \cdot 10^5384400=3,844⋅105

Przecinek przesunęliśmy o 5 miejsc w lewo.

Małe liczby. Przesuwasz przecinek w prawo, aż przed nim stanie pierwsza cyfra niezerowa. Liczba przesunięć ze znakiem minus to wykładnik kkk.

0,00032=3,2⋅10−40{,}00032 = 3{,}2 \cdot 10^{-4}0,00032=3,2⋅10−4

Przecinek przesunęliśmy o 4 miejsca w prawo.

Liczba Notacja wykładnicza
150 000 000150\,000\,000150000000 1,5⋅1081{,}5 \cdot 10^81,5⋅108
384 400384\,400384400 3,844⋅1053{,}844 \cdot 10^53,844⋅105
7 0007\,0007000 7⋅1037 \cdot 10^37⋅103
0,000320{,}000320,00032 3,2⋅10−43{,}2 \cdot 10^{-4}3,2⋅10−4
0,0000000750{,}0000000750,000000075 7,5⋅10−87{,}5 \cdot 10^{-8}7,5⋅10−8

W drugą stronę. 6,02⋅104=60 2006{,}02 \cdot 10^4 = 60\,2006,02⋅104=60200 (przecinek o 4 miejsca w prawo), a 2,1⋅10−3=0,00212{,}1 \cdot 10^{-3} = 0{,}00212,1⋅10−3=0,0021 (o 3 miejsca w lewo).

Mnożenie w notacji wykładniczej

Mnożysz mantysy, a wykładniki potęg dziesięciu dodajesz (bo 10m⋅10n=10m+n10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}10m⋅10n=10m+n). Na końcu poprawiasz mantysę, jeśli wyszła większa od 10.

(2⋅105)⋅(4⋅107)=8⋅1012(2 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^7) = 8 \cdot 10^{12}(2⋅105)⋅(4⋅107)=8⋅1012
(5⋅106)⋅(6⋅10−2)=30⋅104=3⋅105(5 \cdot 10^6) \cdot (6 \cdot 10^{-2}) = 30 \cdot 10^4 = 3 \cdot 10^5(5⋅106)⋅(6⋅10−2)=30⋅104=3⋅105

W drugim przykładzie 303030 to 3⋅1013 \cdot 10^13⋅101, więc wykładnik rośnie o 1.

(2,5⋅103)⋅(4⋅10−5)=10⋅10−2=1⋅10−1=0,1(2{,}5 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^{-5}) = 10 \cdot 10^{-2} = 1 \cdot 10^{-1} = 0{,}1(2,5⋅103)⋅(4⋅10−5)=10⋅10−2=1⋅10−1=0,1

Dzielenie w notacji wykładniczej

Dzielisz mantysy, a wykładniki odejmujesz (bo 10m10n=10m−n\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}10n10m​=10m−n). Gdy mantysa wyjdzie mniejsza od 1, przesuwasz przecinek i zmniejszasz wykładnik.

8⋅1092⋅103=4⋅106\frac{8 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^3} = 4 \cdot 10^62⋅1038⋅109​=4⋅106
1,2⋅10−34⋅105=0,3⋅10−8=3⋅10−9\frac{1{,}2 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^5} = 0{,}3 \cdot 10^{-8} = 3 \cdot 10^{-9}4⋅1051,2⋅10−3​=0,3⋅10−8=3⋅10−9
6⋅1081,5⋅10−2=4⋅1010\frac{6 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 10^{-2}} = 4 \cdot 10^{10}1,5⋅10−26⋅108​=4⋅1010

Uważaj na odejmowanie ujemnego wykładnika: 8−(−2)=108 - (-2) = 108−(−2)=10.

Dodawanie i odejmowanie w notacji wykładniczej

Tu nie ma skrótu jak przy mnożeniu. Dodawać można tylko liczby z tą samą potęgą dziesięciu.

Ta sama potęga. Dodajesz mantysy, potęgę przepisujesz:

6⋅104+3⋅104=9⋅1046 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^4 = 9 \cdot 10^46⋅104+3⋅104=9⋅104
8⋅104+5⋅104=13⋅104=1,3⋅1058 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^4 = 13 \cdot 10^4 = 1{,}3 \cdot 10^58⋅104+5⋅104=13⋅104=1,3⋅105

Różne potęgi. Najpierw sprowadzasz jedną z liczb do potęgi drugiej:

3,2⋅105+4,5⋅104=3,2⋅105+0,45⋅105=3,65⋅1053{,}2 \cdot 10^5 + 4{,}5 \cdot 10^4 = 3{,}2 \cdot 10^5 + 0{,}45 \cdot 10^5 = 3{,}65 \cdot 10^53,2⋅105+4,5⋅104=3,2⋅105+0,45⋅105=3,65⋅105
7,1⋅10−3−5⋅10−4=7,1⋅10−3−0,5⋅10−3=6,6⋅10−37{,}1 \cdot 10^{-3} - 5 \cdot 10^{-4} = 7{,}1 \cdot 10^{-3} - 0{,}5 \cdot 10^{-3} = 6{,}6 \cdot 10^{-3}7,1⋅10−3−5⋅10−4=7,1⋅10−3−0,5⋅10−3=6,6⋅10−3

Najczęstszy błąd to dodanie wykładników przy dodawaniu: 105+10410^5 + 10^4105+104 to nie 10910^9109, tylko 110 000110\,000110000.

Potęgowanie i pierwiastkowanie

Mantysę podnosisz do potęgi, a wykładnik mnożysz (bo (10m)n=10mn(10^m)^n = 10^{mn}(10m)n=10mn):

(3⋅104)2=9⋅108,(2⋅10−3)3=8⋅10−9(3 \cdot 10^4)^2 = 9 \cdot 10^8, \qquad (2 \cdot 10^{-3})^3 = 8 \cdot 10^{-9}(3⋅104)2=9⋅108,(2⋅10−3)3=8⋅10−9

Przy pierwiastku kwadratowym wygodnie jest mieć parzysty wykładnik:

9⋅106=3⋅103,1,6⋅107=16⋅106=4⋅103\sqrt{9 \cdot 10^6} = 3 \cdot 10^3, \qquad \sqrt{1{,}6 \cdot 10^7} = \sqrt{16 \cdot 10^6} = 4 \cdot 10^39⋅106​=3⋅103,1,6⋅107​=16⋅106​=4⋅103

Wszystkie te działania to zwykłe prawa działań na potęgach - są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” w dziale „Potęgi i pierwiastki”. Więcej przykładów znajdziesz w dziale potęgi i pierwiastki - zadania CKE.

Notacja wykładnicza a przedrostki jednostek

Przedrostki jednostek to po prostu nazwy potęg dziesięciu. Warto je kojarzyć, bo zadania z treścią często podają wielkości w kilometrach, milimetrach czy nanometrach.

Przedrostek Potęga Przykład
kilo- (k) 10310^3103 3 km=3⋅103 m3 \text{ km} = 3 \cdot 10^3 \text{ m}3 km=3⋅103 m
mega- (M) 10610^6106 2 MW=2⋅106 W2 \text{ MW} = 2 \cdot 10^6 \text{ W}2 MW=2⋅106 W
giga- (G) 10910^9109 1,5 GW=1,5⋅109 W1{,}5 \text{ GW} = 1{,}5 \cdot 10^9 \text{ W}1,5 GW=1,5⋅109 W
mili- (m) 10−310^{-3}10−3 0,2 mm=2⋅10−4 m0{,}2 \text{ mm} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ m}0,2 mm=2⋅10−4 m
mikro- (µ) 10−610^{-6}10−6 7 μm=7⋅10−6 m7\ \mu\text{m} = 7 \cdot 10^{-6} \text{ m}7 μm=7⋅10−6 m
nano- (n) 10−910^{-9}10−9 5 nm=5⋅10−9 m5 \text{ nm} = 5 \cdot 10^{-9} \text{ m}5 nm=5⋅10−9 m

Przy zamianie 0,20{,}20,2 mm na metry najpierw piszesz 0,2⋅10−30{,}2 \cdot 10^{-3}0,2⋅10−3 m, a potem poprawiasz mantysę: 0,2⋅10−3=2⋅10−40{,}2 \cdot 10^{-3} = 2 \cdot 10^{-4}0,2⋅10−3=2⋅10−4.

Z notacją wykładniczą spotkasz się też na fizyce i chemii. Liczba Avogadra to w przybliżeniu 6,02⋅10236{,}02 \cdot 10^{23}6,02⋅1023, a masa elektronu - około 9,11⋅10−319{,}11 \cdot 10^{-31}9,11⋅10−31 kg. Tych liczb nie da się wygodnie zapisać inaczej.

Porównywanie liczb w notacji wykładniczej

Najpierw porównujesz wykładniki: przy dodatnich liczbach większy wykładnik oznacza większą liczbę. Gdy wykładniki są równe, decyduje mantysa.

  • 2⋅107>9,9⋅1062 \cdot 10^7 > 9{,}9 \cdot 10^62⋅107>9,9⋅106, bo 107>10610^7 > 10^6107>106 (pierwsza liczba to 202020 mln, druga niecałe 101010 mln).
  • 3⋅10−5<3⋅10−43 \cdot 10^{-5} < 3 \cdot 10^{-4}3⋅10−5<3⋅10−4, bo −5<−4-5 < -4−5<−4.
  • 4,1⋅103>3,9⋅1034{,}1 \cdot 10^3 > 3{,}9 \cdot 10^34,1⋅103>3,9⋅103 - ten sam wykładnik, większa mantysa.

Notacja wykładnicza w zadaniach maturalnych

Matura, maj 2018, zadanie 3

Dane są liczby a=3,6⋅10−12a = 3{,}6 \cdot 10^{-12}a=3,6⋅10−12 oraz b=2,4⋅10−20b = 2{,}4 \cdot 10^{-20}b=2,4⋅10−20. Oblicz iloraz ab\frac{a}{b}ba​.

Rozwiązanie. 3,62,4=1,5\frac{3{,}6}{2{,}4} = 1{,}52,43,6​=1,5, a 10−12−(−20)=10810^{-12 - (-20)} = 10^{8}10−12−(−20)=108. Odpowiedź: ab=1,5⋅108\frac{a}{b} = 1{,}5 \cdot 10^8ba​=1,5⋅108. Błędna odpowiedź 1,5⋅10−81{,}5 \cdot 10^{-8}1,5⋅10−8 bierze się z pomylenia znaków przy odejmowaniu wykładników.

Matura, sierpień 2018, zadanie 3

Dane są liczby x=4,5⋅10−8x = 4{,}5 \cdot 10^{-8}x=4,5⋅10−8 oraz y=1,5⋅102y = 1{,}5 \cdot 10^2y=1,5⋅102. Oblicz iloraz xy\frac{x}{y}yx​.

Rozwiązanie. 4,51,5=3\frac{4{,}5}{1{,}5} = 31,54,5​=3, a 10−8−2=10−1010^{-8 - 2} = 10^{-10}10−8−2=10−10. Odpowiedź: xy=3⋅10−10\frac{x}{y} = 3 \cdot 10^{-10}yx​=3⋅10−10.

Zadanie z treścią

Światło przebiega około 3⋅1053 \cdot 10^53⋅105 km w ciągu sekundy. Jaką drogę pokona w 500 sekund?

3⋅105⋅500=3⋅105⋅5⋅102=15⋅107=1,5⋅108 km3 \cdot 10^5 \cdot 500 = 3 \cdot 10^5 \cdot 5 \cdot 10^2 = 15 \cdot 10^7 = 1{,}5 \cdot 10^8 \text{ km}3⋅105⋅500=3⋅105⋅5⋅102=15⋅107=1,5⋅108 km

To mniej więcej odległość Ziemi od Słońca - światło pokonuje ją w nieco ponad 8 minut.

Sprawdź się

  1. Zapisz w notacji wykładniczej: 52 000 00052\,000\,00052000000 i 0,00006090{,}00006090,0000609.
  2. Oblicz (4⋅10−3)⋅(2,5⋅107)(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2{,}5 \cdot 10^{7})(4⋅10−3)⋅(2,5⋅107).
  3. Oblicz 9⋅1043⋅10−2\frac{9 \cdot 10^{4}}{3 \cdot 10^{-2}}3⋅10−29⋅104​.
  4. Oblicz 2,4⋅106+6⋅1052{,}4 \cdot 10^6 + 6 \cdot 10^52,4⋅106+6⋅105.
  5. Która liczba jest większa: 7⋅10−67 \cdot 10^{-6}7⋅10−6 czy 1,2⋅10−51{,}2 \cdot 10^{-5}1,2⋅10−5?

Odpowiedzi: 1) 5,2⋅1075{,}2 \cdot 10^75,2⋅107 i 6,09⋅10−56{,}09 \cdot 10^{-5}6,09⋅10−5. 2) 10⋅104=1⋅10510 \cdot 10^4 = 1 \cdot 10^510⋅104=1⋅105. 3) 3⋅1063 \cdot 10^63⋅106. 4) 2,4⋅106+0,6⋅106=3⋅1062{,}4 \cdot 10^6 + 0{,}6 \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^62,4⋅106+0,6⋅106=3⋅106. 5) 1,2⋅10−51{,}2 \cdot 10^{-5}1,2⋅10−5, bo −5>−6-5 > -6−5>−6.

Najczęstsze błędy

  1. Mantysa poza przedziałem ⟨1,10)\langle 1, 10)⟨1,10): 25⋅10325 \cdot 10^325⋅103 trzeba poprawić na 2,5⋅1042{,}5 \cdot 10^42,5⋅104.
  2. Zły znak wykładnika przy małych liczbach: 0,004=4⋅10−30{,}004 = 4 \cdot 10^{-3}0,004=4⋅10−3, a nie 4⋅1034 \cdot 10^34⋅103.
  3. Dodawanie wykładników przy dodawaniu liczb - wykładniki dodaje się tylko przy mnożeniu.
  4. Odejmowanie ujemnego wykładnika przy dzieleniu: 10−12:10−20=10810^{-12} : 10^{-20} = 10^{8}10−12:10−20=108.
  5. Brak poprawki na końcu - wynik 0,3⋅10−80{,}3 \cdot 10^{-8}0,3⋅10−8 zapisz jako 3⋅10−93 \cdot 10^{-9}3⋅10−9.

Działania na potęgach przydają się też przy logarytmach - zobacz jak szybko opanować logarytmy przed maturą. A jeśli liczysz na maturze z kalkulatorem, sprawdź, jaki kalkulator prosty wolno mieć. Wszystkie działy z zadaniami CKE są na stronie zadania maturalne z matematyki.

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest notacja wykładnicza?
To zapis liczby w postaci a · 10^k, gdzie 1 ≤ a < 10, a k jest liczbą całkowitą. Na przykład 150 000 000 = 1,5 · 10^8, a 0,00032 = 3,2 · 10^−4.
Jak mnożyć liczby w notacji wykładniczej?
Pomnóż mantysy i dodaj wykładniki potęg dziesięciu. Jeśli mantysa wyjdzie 10 lub więcej, przesuń przecinek i zwiększ wykładnik, np. (5 · 10^6) · (6 · 10^−2) = 30 · 10^4 = 3 · 10^5.
Jak dodawać i odejmować liczby w notacji wykładniczej?
Sprowadź obie liczby do tej samej potęgi dziesięciu, dodaj lub odejmij mantysy i popraw zapis, np. 3,2 · 10^5 + 4,5 · 10^4 = 3,2 · 10^5 + 0,45 · 10^5 = 3,65 · 10^5. Wykładników się nie dodaje.
Jak dzielić liczby w notacji wykładniczej?
Podziel mantysy i odejmij wykładniki: 10^m : 10^n = 10^(m−n). Uważaj na ujemne wykładniki, np. 10^−12 : 10^−20 = 10^8.

Źródła

Fakty o egzaminie zbieramy w jednym miejscu: Matura z matematyki.

Gwarancja 70% na maturze

Zacznij ćwiczyć — za darmo

Kursy wideo, adaptacyjne zadania i Zdajek AI. 7 dni na zwrot, bez karty kredytowej.

Ćwicz potęgi na zadaniach CKE

Podobne artykuły

Tematy

Przedziały liczbowe - nawias otwarty i zamknięty, działania

Czytaj
Tematy

Nierówności kwadratowe - jak rozwiązywać, przykłady, zadania

Czytaj
Tematy

Funkcja liniowa - wzór, miejsce zerowe, wykres i zadania

Czytaj