Tematy

Działania na liczbach niewymiernych - pierwiastki krok po kroku

Q: Jak wykazać, że liczba jest wymierna?

Przekształć wyrażenie do postaci ułamka p/q z liczb całkowitych, zwykle wymnażając nawiasy wzorami skróconego mnożenia, np. (√5 − 2)² + 4√5 = 9. Przybliżenie z kalkulatora nie jest dowodem.

Q: Czy iloczyn dwóch liczb niewymiernych może być wymierny?

Tak. Na przykład √2 · √8 = √16 = 4 albo (√5 + √2)(√5 − √2) = 3. Wynik działania na dwóch liczbach niewymiernych może być wymierny albo niewymierny - trzeba go policzyć.

Działania na liczbach niewymiernych: dodawanie i mnożenie pierwiastków, usuwanie niewymierności z mianownika, porównywanie i jak wykazać, że liczba jest wymierna.

7 min czytania

1 października 2026zdaje.com

Opracowanie: zdaje.com · Aktualizacja: 1 października 2026

Ucz się, a nie tylko czytaj

Kursy + AI asystent + korepetycje — wszystko na zdaje.com

Ćwicz zadania z pierwiastków

Działania na liczbach niewymiernych to w praktyce działania na pierwiastkach: upraszczanie, dodawanie, mnożenie, pozbywanie się pierwiastka z mianownika i porównywanie. Na maturze takie zadanie pojawia się prawie w każdym arkuszu, zwykle na początku. Poniżej masz zasady z przykładami, sposoby porównywania liczb, schemat wykazywania, że liczba jest wymierna, krótki dowód niewymierności $2\sqrt{2}$ i zadania CKE z rozwiązaniami.

Zasady działań na pierwiastkach

Dla liczb $\ge 0$ i $\ge 0$ :

Zasada	Przykład
$a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	$6⋅15=90=310\sqrt{6} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$
$ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ , gdy $\ne 0$	$483=16=4\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{16} = 4$
$a2b=ab\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ (wyłączanie czynnika)	$75=25⋅3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
$ab=a2ba\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ (włączanie pod pierwiastek)	$35=453\sqrt{5} = \sqrt{45}$
$(a)2=a(\sqrt{a})^2 = a$	$(7)2=7(\sqrt{7})^2 = 7$

Czego nie wolno: $a+b≠a+b\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Przykład: $9+16=25=5\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , a $9+16=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ .

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków

Dodajesz tylko „podobne” pierwiastki, czyli te z tą samą liczbą pod pierwiastkiem - tak jak $2 x + 5 x = 7 x$ . Najpierw wyłącz czynniki przed pierwiastek, potem dodawaj.

$75+12=53+23=73\sqrt{75} + \sqrt{12} = 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
$8+18−50=22+32−52=0\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{50} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 0$
$2+3\sqrt{2} + \sqrt{3}$ - tego nie da się uprościć, zostaje tak, jak jest.

Drugi przykład pokazuje coś ważnego: suma liczb niewymiernych może być liczbą wymierną (tu nawet zerem).

Do wyłączania czynnika przydaje się znajomość kwadratów: $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ . Szukasz największego z nich, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem: $72=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ .

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Liczby przed pierwiastkami mnożysz osobno, pierwiastki osobno:

$23⋅56=1018=10⋅32=3022\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{18} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$
$3(12−3)=36−3=6−3=3\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{3}) = \sqrt{36} - 3 = 6 - 3 = 3$

Przy nawiasach korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia:

$(5+2)(5−2)=5−2=3(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 5 - 2 = 3$ (różnica kwadratów),
$\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$ (kwadrat sumy).

Pierwiastki wyższych stopni działają tak samo, tylko szukasz sześcianów: $543−23=27⋅23−23=323−23=223\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} - \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$ .

Usuwanie niewymierności z mianownika

Chodzi o to, żeby w mianowniku nie było pierwiastka. Mnożysz licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, więc wartość ułamka się nie zmienia.

Typ 1: w mianowniku sam pierwiastek. Mnożysz przez ten pierwiastek:

63=633⋅3=633=23\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

Typ 2: w mianowniku suma lub różnica. Mnożysz przez wyrażenie „sprzężone” (ten sam nawias ze zmienionym znakiem) i korzystasz z różnicy kwadratów:

43−5=4(3+5)(3−5)(3+5)=4(3+5)9−5=3+5\frac{4}{3 - \sqrt{5}} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = 3 + \sqrt{5}

Matura, czerwiec 2012, zadanie 1

Ułamek $5+25−2\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}$ jest równy: A. $1$ , B. $- 1$ , C. $4\sqrt{5}$ , D. $4\sqrt{5}$ .

Rozwiązanie. Mnożymy licznik i mianownik przez $5+2\sqrt{5} + 2$ :

(5+2)2(5−2)(5+2)=5+45+45−4=9+45\frac{(\sqrt{5} + 2)^2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{5 + 4\sqrt{5} + 4}{5 - 4} = 9 + 4\sqrt{5}

Odpowiedź: D.

Matura, maj 2014, zadanie 3

Oblicz wartość wyrażenia $23−1−23+1\frac{2}{\sqrt{3} - 1} - \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ .

Rozwiązanie. $23−1=2(3+1)3−1=3+1\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1$ oraz $23+1=2(3−1)3−1=3−1\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1$ . Różnica: $(3+1)−(3−1)=2(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = 2$ . Odpowiedź: 2.

Porównywanie liczb niewymiernych

Masz cztery sposoby. Zanim zaczniesz, sprawdź znaki liczb.

1. Włącz czynnik pod pierwiastek. Która liczba jest większa: $353\sqrt{5}$ czy $525\sqrt{2}$ ? $35=453\sqrt{5} = \sqrt{45}$ , a $52=505\sqrt{2} = \sqrt{50}$ . Pierwiastek rośnie razem z liczbą pod nim, więc $35<523\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$ .

2. Porównaj kwadraty (tylko dla liczb dodatnich). Porównaj $7+3\sqrt{7} + \sqrt{3}$ i $252\sqrt{5}$ :

(7+3)2=10+221,(25)2=20=10+225(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = 10 + 2\sqrt{21}, \qquad (2\sqrt{5})^2 = 20 = 10 + 2\sqrt{25}

Ponieważ $21<25\sqrt{21} < \sqrt{25}$ , mamy $7+3<25\sqrt{7} + \sqrt{3} < 2\sqrt{5}$ .

3. Porównaj z liczbą wymierną. Czy $262\sqrt{6}$ jest większe od $4{,}9$ ? Kwadraty: $(26)2=24(2\sqrt{6})^2 = 24$ i $4{,}9^2 = 24{,}01$ . Czyli $26<4,92\sqrt{6} < 4{,}9$ - różnica jest mała, więc „na oko” łatwo się pomylić.

4. Zbadaj znak różnicy. Jeśli $a - b > 0$ , to $a > b$ . Przydaje się, gdy liczby różnią się tylko jednym składnikiem, np. $\sqrt{3}$ i $\sqrt{5}$ : różnica to $\sqrt{3} - \sqrt{5}$ , a $\sqrt{3} \approx 2{,}73 > \sqrt{5} \approx 2{,}24$ , więc pierwsza liczba jest większa.

Pułapka z liczbami ujemnymi. Porównaj $- 3$ i $−8-\sqrt{8}$ . Kwadraty to $9$ i $8$ , ale to nie znaczy, że $- 3$ jest większe. Dla liczb ujemnych nierówność się odwraca: $\sqrt{8}$ , więc $-\sqrt{8}$ .

Jak wykazać, że liczba jest wymierna

Na maturze „wykaż, że liczba jest wymierna” oznacza: przekształć wyrażenie tak, żeby zostało $pq\frac{p}{q}$ z liczbami całkowitymi $p$ i $\ne 0$ . Przybliżenie z kalkulatora nie jest dowodem.

Schemat: wymnóż nawiasy (najczęściej wzorami skróconego mnożenia), zbierz wyrazy z pierwiastkami i sprawdź, czy się zerują.

Przykład 1. Wykaż, że $(5−2)2+45(\sqrt{5} - 2)^2 + 4\sqrt{5}$ jest liczbą wymierną.

$(5−2)2+45=5−45+4+45=9(\sqrt{5} - 2)^2 + 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5} + 4 + 4\sqrt{5} = 9$ . Liczba $9$ jest wymierna. c.n.d.

Przykład 2. Wykaż, że $7+43−3\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{3}$ jest liczbą wymierną.

Zauważ, że $4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$ . Ponieważ $\sqrt{3} > 0$ , to $7+43=2+3\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ , a cała liczba jest równa $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ . c.n.d.

Przykład 3. Wykaż, że $13−2−3−2\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \sqrt{3} - \sqrt{2}$ jest liczbą wymierną.

Usuwamy niewymierność: $13−2=3+23−2=3+2\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ . Zostaje $3+2−3−2=0\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} = 0$ , a $0$ jest liczbą wymierną. c.n.d.

Kontrprzykład. $\sqrt{2})^3 = 1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}$ . Pierwiastki się nie skracają, więc ta liczba jest niewymierna (suma liczby wymiernej $7$ i niewymiernej $525\sqrt{2}$ ).

W informatorze CKE jest zadanie tego typu w wersji „wybierz”: dla jakich $a$ liczba $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ jest wymierna. Rozwiązanie pokazujemy w tekście o wzorach skróconego mnożenia.

Dowód, że √2 jest liczbą niewymierną

Dowód nie wprost: zakładasz, że jest odwrotnie, i dochodzisz do sprzeczności.

Załóżmy, że $2=pq\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są naturalne, a ułamek jest nieskracalny.
Po podniesieniu do kwadratu: $p^2 = 2q^2$ . Zatem $p^2$ jest parzyste, więc $p$ też jest parzyste: $p = 2 k$ .
Wstawiamy: $4k^2 = 2q^2$ , czyli $q^2 = 2k^2$ . Zatem $q$ też jest parzyste.
Skoro $p$ i $q$ są parzyste, ułamek $pq\frac{p}{q}$ można skrócić przez $2$ - a miał być nieskracalny. Sprzeczność, więc $2\sqrt{2}$ jest niewymierne.

Tą samą metodą pokażesz, że suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna. Gdyby $\sqrt{2} = w$ , gdzie $w$ jest wymierne, to $2=w−3\sqrt{2} = w - 3$ byłoby wymierne (różnica dwóch liczb wymiernych). Sprzeczność.

Na maturze podstawowej takich dowodów zwykle nie trzeba przeprowadzać - CKE w treści zadania podaje, które liczby są niewymierne, np. „uwzględnij fakt, że liczby $2\sqrt{2}$ , $3\sqrt{3}$ oraz $2⋅3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$ są niewymierne”.

Zadania maturalne z rozwiązaniem

Matura, sierpień 2023, zadanie 2

Liczba $345−203\sqrt{45} - \sqrt{20}$ jest równa: A. $\cdot 5)^{\frac{1}{2}}$ , B. $5125^{\frac{1}{2}}$ , C. $7$ , D. $\cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie. $345=3⋅35=953\sqrt{45} = 3 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$ i $20=25\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ , więc wynik to $757\sqrt{5}$ . Ponieważ $5=512\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ , mamy $75=7⋅5127\sqrt{5} = 7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ . Odpowiedź: D. Uwaga na A: $\cdot 5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{35}$ , a to inna liczba.

Sprawdź się

Oblicz $27+48−75\sqrt{27} + \sqrt{48} - \sqrt{75}$ .
Oblicz $(6−2)2+212(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 + 2\sqrt{12}$ .
Usuń niewymierność z mianownika: $17+5\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ .
Która liczba jest większa: $434\sqrt{3}$ czy $353\sqrt{5}$ ?
Czy liczba $0{,}(36)$ jest wymierna? Jeśli tak, zapisz ją jako ułamek.

Odpowiedzi: 1) $33+43−53=233\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ . 2) $2\sqrt{12} + 2 + 2\sqrt{12} = 8$ . 3) $7−52\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ . 4) $43=484\sqrt{3} = \sqrt{48}$ , $35=453\sqrt{5} = \sqrt{45}$ , więc większa jest $434\sqrt{3}$ . 5) Tak, $3699=411\frac{36}{99} = \frac{4}{11}$ .

Podstawy (czym w ogóle są liczby wymierne i niewymierne) opisujemy w tekście liczby wymierne i niewymierne, a podział na zbiory w tekście liczby rzeczywiste. Zadania CKE z pierwiastków znajdziesz w dziale potęgi i pierwiastki, a jeśli chcesz ćwiczyć z podpowiedziami krok po kroku - w treningu na zdaje.com. Takie zadania otwierają arkusz, który w maju dostają wszyscy maturzyści - dlaczego jest jeden dla całej Polski, wyjaśniamy w tekście czy arkusze maturalne są takie same.

Najczęściej zadawane pytania

Jak dodawać pierwiastki?

Dodajesz tylko pierwiastki z tą samą liczbą pod pierwiastkiem. Najpierw wyłącz czynnik przed pierwiastek, np. √75 + √12 = 5√3 + 2√3 = 7√3. Sumy √2 + √3 nie da się uprościć, a √a + √b to nie to samo co √(a + b).

Jak usunąć niewymierność z mianownika?

Pomnóż licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek (6/√3 = 6√3/3 = 2√3) albo - gdy w mianowniku jest suma lub różnica - przez wyrażenie sprzężone, np. 4/(3 − √5) = 4(3 + √5)/(9 − 5) = 3 + √5.

Jak porównać dwie liczby niewymierne?

Włącz czynniki pod pierwiastek (3√5 = √45, 5√2 = √50), porównaj kwadraty dwóch liczb dodatnich albo zbadaj znak ich różnicy. Przy liczbach ujemnych porównanie kwadratów odwraca nierówność: 9 > 8, ale −3 < −√8.

Jak wykazać, że liczba jest wymierna?

Przekształć wyrażenie do postaci ułamka p/q z liczb całkowitych, zwykle wymnażając nawiasy wzorami skróconego mnożenia, np. (√5 − 2)² + 4√5 = 9. Przybliżenie z kalkulatora nie jest dowodem.

Czy iloczyn dwóch liczb niewymiernych może być wymierny?

Tak. Na przykład √2 · √8 = √16 = 4 albo (√5 + √2)(√5 − √2) = 3. Wynik działania na dwóch liczbach niewymiernych może być wymierny albo niewymierny - trzeba go policzyć.

Źródła

Fakty o egzaminie zbieramy w jednym miejscu: Matura z matematyki.

Gwarancja 70% na maturze

Zacznij ćwiczyć — za darmo

Kursy wideo, adaptacyjne zadania i Zdajek AI. 7 dni na zwrot, bez karty kredytowej.