Matura z matematyki · poziom podstawowy

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby $a\text{,}$ oznaczana $|a|\text{,}$ to jej odległość od zera na osi liczbowej. Dlatego nigdy nie jest ujemna: $|5| = 5\text{,}$ $|-5| = 5\text{,}$ $|0| = 0\text{.}$

Najwygodniej myśleć o wyrażeniu $|x - a|$ jako o odległości liczby $x$ od liczby $a\text{.}$ Wtedy równanie $|x - 2| = 3$ czytamy: „liczby oddalone od 2 o 3” - czyli $x = -1$ lub $x = 5\text{.}$ Nie trzeba niczego rozpisywać na przypadki.

Tak samo z nierównościami: $|x - a| \le d$ to wszystkie liczby, które leżą nie dalej niż $d$ od $a$ (przedział domknięty wokół $a$ ), a $|x - a| > d$ to liczby leżące dalej - dwie półproste. Najczęstszy błąd to pomylenie tych dwóch sytuacji, więc warto zawsze narysować oś.

Najważniejsze wzory

Definicja
$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$
Odległość liczb na osi
$|x - a| = \text{odległość } x \text{ od } a$
Nierówność „mniejsze”
$|x - a| \le d \iff a - d \le x \le a + d$
Nierówność „większe”
$|x - a| > d \iff x < a - d \ \text{lub} \ x > a + d$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Rozwiąż nierówność

|x - 3| \le 5\text{.}

Szukamy liczb, których odległość od $3$ jest nie większa niż $5\text{.}$
Zapisujemy to jako podwójną nierówność: $-5 \le x - 3 \le 5\text{.}$
Dodajemy $3$ do każdej strony: $-2 \le x \le 8\text{.}$

Odpowiedź: $x \in \langle -2, 8 \rangle$

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Wartość bezwzględna

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Liczby

x_1

x_2

są różnymi rozwiązaniami równania

|x-6|=4\text{.}

Iloczyn

x_1 \cdot x_2

jest równy

A. $4$
B. $20$
C. $24$
D. $100$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B ( $20$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2025, zad. 1

Zadanie 2 · 1 pkt

Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności

|x+1|<3

jest równa

A. $2$
B. $3$
C. $5$
D. $7$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $5$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2024, zad. 1

Zadanie 3 · 1 pkt

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność

|x+5| < 15

jest

A. $9$
B. $10$
C. $20$
D. $21$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $9$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2023, zad. 1

Zadanie 4 · 1 pkt

Liczba

|9-2|-|4-7|

jest równa

A. $4$
B. $10$
C. $-10$
D. $-4$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $4$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2017, zad. 1

Zadanie 5 · 1 pkt

Dla każdej liczby

x\text{,}

spełniającej warunek

-3<x<0\text{,}

wyrażenie:

\frac{|x+3|-x+3}{x}

jest równe:

A.2
B.3
C. $-\frac{6}{x}$
D. $\frac{6}{x}$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $\frac{6}{x}$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2014, zad. 9

Zadanie 6 · 1 pkt

Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x\text{?}

A. $\sqrt{x^2} = x$
B. $|-x| = x$
C. $|x-1| = x-1$
D. $\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D ( $\sqrt{(x+1)^2} = |x+1|$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2014, zad. 1

Zadanie 7 · 1 pkt

Przedział

\langle -1,3 \rangle

jest opisany nierównością:

A. $| x + 1| \geq 2$
B. $| x + 1| \leq 2$
C. $| x - 1| \leq 2$
D. $| x - 1| \geq 2$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ( $| x - 1| \leq 2$ )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2013, zad. 3

Więcej zadań do ćwiczeń

Zadania w stylu maturalnym z otwartego zbioru (licencja CC BY-SA 4.0). Rozwiązania przygotowało zdaje.com.

Zadanie 8

Rozwiązaniem nierówności

|6-3x|<1

jest zbiór

A. $(5/3,7/3)$
B. $(-7/3,-5/3)$
C. $(-7/3,5/3)$
D. $(-5/3,7/3)$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $(5/3,7/3)$ )

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Z definicji wartości bezwzględnej nierówność

|6-3x|<1

oznacza

-1<6-3x<1\text{.}

Odejmujemy

6

od każdej części:

-7<-3x<-5\text{.}

Dzielimy każdą część przez

-3

i zmieniamy zwroty nierówności:

\dfrac73>x>\dfrac53

.
Zapisujemy w rosnącej kolejności:

x\in\left(\dfrac53,\dfrac73\right)

.
Poprawna odpowiedź to A.

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Rozwiąż kolejne zadania z wartości bezwzględnej

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z wartości bezwzględnej

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE