Wzory skróconego mnożenia - wszystkie wzory i zadania

Wzory działają dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ - także dla wyrażeń typu $3x$, $\sqrt{2}$ czy $x^2$.

Które wzory obowiązują na maturze?

Podstawa programowa na poziomie podstawowym wymaga tylko trzech wzorów: kwadratu sumy, kwadratu różnicy i różnicy kwadratów. To samo wymaganie podaje informator CKE przy zadaniach z wyrażeń algebraicznych. Wzory trzeciego stopnia, suma sześcianów i wzór dwumianowy Newtona należą do zakresu rozszerzonego.

Nie musisz jednak wkuwać wszystkiego na pamięć. W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”, którą dostajesz na maturze, jest cały dział „Wzory skróconego mnożenia”: kwadraty i sześciany sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów oraz wzór na $a^n-b^n$. Co jeszcze jest w broszurze, a czego w niej nie ma, opisujemy w tekście karta wzorów na maturze z matematyki.

W praktyce trzy podstawowe wzory warto znać „z automatu”, bo pojawiają się w środku innych zadań i nikt nie szuka ich wtedy w broszurze.

Wzory drugiego stopnia

Kwadrat sumy i kwadrat różnicy

Skąd bierze się wzór? Wystarczy wymnożyć: $(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$. Środkowy wyraz $2ab$ to „podwojony iloczyn” i to właśnie on najczęściej znika w pośpiechu.

Przykład 1. $(3x+2{)}^2=(3x{)}^2+2\cdot 3x\cdot 2+2^2=9x^2+12x+4$.

Przykład 2. $(2x-5{)}^2=4x^2-20x+25$.

Przykład 3 (z pierwiastkiem). $(2\sqrt{3}-1{)}^2=12-4\sqrt{3}+1=13-4\sqrt{3}$.

Uwaga na kwadrat wyrażenia $3x$: to $9x^2$, a nie $3x^2$. Nawias wokół $3x$ w pierwszym kroku chroni przed tym błędem.

Różnica kwadratów

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ działa w obie strony. Od lewej do prawej rozkładasz wyrażenie na czynniki, od prawej do lewej szybko mnożysz nawiasy, które różnią się tylko znakiem.

Przykład 4. $(x-7)(x+7)=x^2-49$.

Przykład 5 (liczenie w pamięci). $49\cdot 51=(50-1)(50+1)=2500-1=2499$. Podobnie $101^2=(100+1{)}^2=10000+200+1=10201$, a $998^2=(1000-2{)}^2=1000000-4000+4=996004$.

Wzory trzeciego stopnia

Sześcian sumy i różnicy

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$, a $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$. Współczynniki $1,3,3,1$ są te same w obu wzorach, a w sześcianie różnicy znaki na zmianę: plus, minus, plus, minus.

Przykład 6. $(x+2{)}^3=x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 4+8=x^3+6x^2+12x+8$.

Przykład 7. $(2x-1{)}^3=8x^3-12x^2+6x-1$.

Suma i różnica sześcianów (wzór $a^3\pm b^3$)

Jak nie pomylić znaków: w pierwszym nawiasie jest ten sam znak co w wyrażeniu, w środku drugiego nawiasu - znak przeciwny, a na końcu zawsze plus.

Przykład 8. $x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)$.

Przykład 9. $8x^3+1=(2x{)}^3+1^3=(2x+1)(4x^2-2x+1)$.

Drugi nawias, np. $x^2+3x+9$, nie rozkłada się już dalej na czynniki liniowe - jego wyróżnik jest ujemny ($9-36<0$).

Kwadrat sumy trzech składników

Łatwo to zapamiętać: kwadraty wszystkich składników plus podwojone iloczyny każdej pary. Przy trzech składnikach par jest trzy.

Przykład 10. $(x+y+1{)}^2=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$.

Jeśli w nawiasie jest minus, traktuj go jako znak składnika: $(a-b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc$.

Wzory n-tego stopnia

W broszurze CKE jest ogólny wzór na różnicę $n$-tych potęg:

Dla $n=2$ i $n=3$ daje on różnicę kwadratów i różnicę sześcianów.

Potęgę dwumianu $(a+b{)}^n$ opisuje wzór dwumianowy Newtona - też jest w broszurze, ale wymaga go dopiero poziom rozszerzony. Współczynniki odczytasz z trójkąta Pascala (1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1):

Na poziomie podstawowym wzorów wyższego stopnia nie potrzebujesz. Wystarczy zauważyć, że np. $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$ - to dwa razy użyta różnica kwadratów.

Wzory w drugą stronę: rozkład na czynniki

Na maturze wzory częściej czyta się od prawej do lewej. Trzeba zauważyć, że wyrażenie „pasuje” do wzoru.

• $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$, więc równanie $x^2-10x+25=0$ ma jedno rozwiązanie $x=5$ - bez liczenia delty.
• $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$, więc $4x^2-9=0$ dla $x=\frac{3}{2}$ lub $x=-\frac{3}{2}$.
• $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$ dla $x\ne 3$ - skracasz ułamek po rozkładzie licznika.

Takie zadania znajdziesz w dziale wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia - zadania CKE.

Zadania maturalne z rozwiązaniem

Zadanie 1 (informator CKE, poziom podstawowy)

Dana jest liczba $x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2$. Dla których $a$ liczba $x$ jest wymierna: A. $a=5$, B. $a=(\sqrt{2}-\sqrt{3}{)}^2+0,3$, C. $a=6$, D. $a=-2\sqrt{6}+12,5$, E. $a=(\sqrt{2}-\sqrt{3}{)}^2-2\sqrt{6}$, F. $a=-\sqrt{6}$?

Rozwiązanie. Z kwadratu różnicy: $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$. Zatem $x=a-5+2\sqrt{6}$. Liczba $x$ będzie wymierna, gdy $a$ „zjada” składnik $2\sqrt{6}$, czyli ma postać $q-2\sqrt{6}$ z wymiernym $q$. Tak jest w B ($a=5,3-2\sqrt{6}$, wtedy $x=0,3$) i w D (wtedy $x=7,5$). Odpowiedź: B i D.

Zadanie 2 (matura, maj 2018, zadanie 27)

Rozwiąż równanie $(x^3+125)(x^2-64)=0$.

Rozwiązanie. Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem.

• $x^3+125=0$, czyli $x^3=-125$, więc $x=-5$. Ze wzoru: $x^3+125=(x+5)(x^2-5x+25)$, a drugi nawias nie ma pierwiastków ($\Delta =25-100<0$).
• $x^2-64=(x-8)(x+8)=0$, więc $x=8$ lub $x=-8$.

Odpowiedź: $x\in \{-8,-5,8\}$.

Zadanie 3: usuwanie niewymierności z mianownika

Zapisz liczbę $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ bez pierwiastka w mianowniku.

Rozwiązanie. Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{5}+2$ i korzystamy z różnicy kwadratów:

Zadanie 4: dowód

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2\ge 2ab$.

Rozwiązanie. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $a^2-2ab+b^2\ge 0$. Lewa strona to $(a-b{)}^2$, a kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny. Nierówność jest więc prawdziwa. c.n.d.

Wzory skróconego mnożenia to podstawowe narzędzie w zadaniach „wykaż, że” - zobacz dział dowody - zadania maturalne.

Najczęstsze błędy

1. $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ - brak podwojonego iloczynu. Sprawdzenie na liczbach: $(1+2{)}^2=9$, a $1^2+2^2=5$.
2. $(3x{)}^2=3x^2$ - do kwadratu podnosisz cały iloczyn: $9x^2$.
3. Minus przed nawiasem. $-(x-3{)}^2=-x^2+6x-9$: najpierw wzór, potem zmiana wszystkich znaków.
4. Pomylone znaki w $a^3\pm b^3$. W drugim nawiasie środkowy wyraz ma znak przeciwny niż w wyrażeniu, a ostatni zawsze plus.
5. Mylenie $a^2-b^2$ z $(a-b{)}^2$. To dwa różne wyrażenia: $9-4=5$, a $(3-2{)}^2=1$.

Gdzie dalej

Wzory skróconego mnożenia są potrzebne w działaniach na pierwiastkach - więcej w tekście liczby wymierne i niewymierne i w dziale potęgi i pierwiastki. Kwadrat różnicy to też klucz do postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. Cały zbiór zadań z podziałem na działy jest na stronie zadania maturalne z matematyki.