Liczby wymierne i niewymierne - przykłady i działania

Wymierne są wszystkie liczby, które zapiszesz jako iloraz dwóch liczb całkowitych:

• liczby całkowite: $7=\frac{7}{1}$, $-3=\frac{-3}{1}$, $0=\frac{0}{1}$,
• ułamki zwykłe: $\frac{2}{5}$, $-\frac{11}{4}$,
• ułamki dziesiętne skończone: $0,75=\frac{3}{4}$, $2,5=\frac{5}{2}$,
• ułamki dziesiętne okresowe: $0,(3)=\frac{1}{3}$, $0,1(6)=\frac{1}{6}$,
• niektóre pierwiastki: $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$, $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Zbiór liczb wymiernych oznacza się literą $\mathbb{Q}$.

Liczby niewymierne - definicja i przykłady

Niewymierna jest każda liczba rzeczywista, której nie da się zapisać jako $\frac{p}{q}$. Przykłady:

• pierwiastki z liczb naturalnych, które nie są kwadratami: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$,
• liczba $\pi \approx 3,14159$,
• wyrażenia z takimi pierwiastkami, np. $1+\sqrt{2}$, $3\sqrt{5}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
• ułamki dziesiętne nieskończone i nieokresowe, np. $0,101001000100001\dots$ (po każdej jedynce o jedno zero więcej).

Uwaga na pułapkę: nie każdy pierwiastek jest niewymierny. Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy ta liczba jest kwadratem liczby naturalnej ($\sqrt{16}=4$), a w pozostałych przypadkach - niewymierny ($\sqrt{15}$).

Jak rozpoznać liczbę po rozwinięciu dziesiętnym

Ułamek okresowy zamienisz na zwykły tak: $0,(27)=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$ (okres dzielisz przez tyle dziewiątek, ile ma cyfr). Przy $1,2(3)$ najpierw odejmij część nieokresową: $1,2(3)=1,2+0,0(3)=\frac{12}{10}+\frac{3}{90}=\frac{37}{30}$.

Zbiory liczb: od naturalnych do rzeczywistych

Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita jest wymierna, a każda wymierna jest rzeczywista: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. Liczby niewymierne to te rzeczywiste, które nie są wymierne.

Czy pierwiastki to liczby rzeczywiste?

Tak, ale nie wszystkie. Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” mówi wprost: pierwiastek stopnia $n$ z liczby $a\ge 0$ to liczba $b\ge 0$, dla której $b^n=a$, a w zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. W praktyce:

• $\sqrt{7}$, $\sqrt{0,5}$, $\sqrt[4]{10}$ - liczby rzeczywiste (niewymierne),
• $\sqrt{25}=5$ - liczba rzeczywista (wymierna),
• $\sqrt[3]{-8}=-2$ - pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje,
• $\sqrt{-4}$ - nie jest liczbą rzeczywistą.

Dlatego w równaniach i funkcjach z pierwiastkiem kwadratowym zawsze sprawdzasz, czy wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne. Przyda się też wzór $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$: $\sqrt{(-3{)}^2}=3$.

Działania na liczbach niewymiernych

Co wychodzi z działań na liczbach różnych rodzajów:

Na maturze najczęściej liczysz na pierwiastkach. Najważniejsze ruchy:

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.

Dodawanie i odejmowanie „podobnych” pierwiastków. $\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ oraz $\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$. Nie da się natomiast dodać $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ do jednego pierwiastka - $\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne \sqrt{5}$.

Mnożenie i dzielenie. $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ i $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ dla $a,b$ dodatnich, np. $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{4}=2$.

Wzory skróconego mnożenia. $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1$ oraz $(\sqrt{2}+1{)}^2=3+2\sqrt{2}$. Wszystkie wzory zebraliśmy w tekście wzory skróconego mnożenia.

Usuwanie niewymierności z mianownika. $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$.

Porównywanie liczb niewymiernych

Są trzy sposoby. Wybierz ten, który w danym zadaniu jest najkrótszy.

1. Wprowadź czynnik pod pierwiastek. Która liczba jest większa: $2\sqrt{3}$ czy $3\sqrt{2}$? $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$, a $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$. Pierwiastek rośnie razem z liczbą pod nim, więc $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$.

2. Podnieś do kwadratu. Obie liczby muszą być dodatnie - wtedy większa liczba ma większy kwadrat. Porównaj $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ i $\sqrt{2}+\sqrt{6}$:

Ponieważ $\sqrt{15}>\sqrt{12}$, większa jest liczba $\sqrt{5}+\sqrt{3}$.

3. Porównaj z liczbą wymierną. Czy $3\sqrt{2}$ jest większe od $4,2$? Podnosimy do kwadratu: $18$ i $17,64$. Tak, $3\sqrt{2}>4,2$. Na maturze możesz to też sprawdzić kalkulatorem prostym, jeśli ma klawisz pierwiastka - szczegóły w tekście kalkulator prosty na maturze.

Jak wykazać, że liczba jest wymierna

Trzeba przekształcić wyrażenie do postaci $\frac{p}{q}$ z całkowitymi $p$ i $q\ne 0$ - najczęściej pierwiastki się „skracają”. Samo przybliżenie z kalkulatora niczego nie dowodzi.

Przykład 1. Wykaż, że liczba $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{6}$ jest wymierna.

$(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{6}=3-2\sqrt{6}+2+2\sqrt{6}=5$. Liczba $5$ jest całkowita, więc wymierna. c.n.d.

Przykład 2. $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$ - wymierna.

Przykład 3. $(3+\sqrt{5}{)}^2-6\sqrt{5}=9+6\sqrt{5}+5-6\sqrt{5}=14$ - wymierna.

Schemat jest zawsze ten sam: wymnóż nawiasy, zbierz wyrazy z pierwiastkami i sprawdź, czy się zerują.

A jak wykazać, że liczba jest niewymierna?

To trudniejsze i zwykle wymaga dowodu nie wprost. Klasyczny przykład to $\sqrt{2}$: gdyby $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny), to $p^2=2q^2$, więc $p$ jest parzyste, $p=2k$. Wtedy $4k^2=2q^2$, czyli $q^2=2k^2$ i $q$ też jest parzyste - a miał to być ułamek nieskracalny. Sprzeczność. W zadaniach maturalnych CKE zwykle podaje w treści, które liczby są niewymierne, np. „uwzględnij fakt, że liczby $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ oraz $\sqrt{6}$ są niewymierne”.

Liczby rzeczywiste - zadania maturalne

Zadanie z matury (czerwiec 2015, zadanie 11)

Ile niewymiernych rozwiązań ma równanie $x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0$?

Rozwiązanie. Rozwiązania to: $x=0$, $x=-5$, $x=\frac{3}{2}$ oraz $x=\sqrt{7}$ i $x=-\sqrt{7}$. Pierwsze trzy są wymierne. Odpowiedź: 2 niewymierne rozwiązania.

Zadanie z informatora CKE (poziom podstawowy)

Dla jakich $a$ liczba $x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2$ jest wymierna? Rozwiązanie krok po kroku pokazujemy w tekście o wzorach skróconego mnożenia - kluczem jest zauważenie, że $(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=5-2\sqrt{6}$.

Sprawdź się

1. Zamień $0,(6)$ na ułamek zwykły.
2. Oblicz $\sqrt{75}-\sqrt{27}$.
3. Która liczba jest większa: $5\sqrt{2}$ czy $4\sqrt{3}$?
4. Czy liczba $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)$ jest wymierna?
5. Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Odpowiedzi: 1) $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. 2) $5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. 3) $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$, $4\sqrt{3}=\sqrt{48}$, więc większa jest $5\sqrt{2}$. 4) Tak, to $5-1=4$. 5) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Więcej zadań CKE z tego działu znajdziesz w działach potęgi i pierwiastki oraz wartość bezwzględna, a wszystkie działy na stronie zadania maturalne z matematyki.