Karta wzorów na maturze z matematyki - co w niej jest

To wersja przygotowana przez CKE dla matury w formule 2023, czyli tej, którą piszesz w 2027 roku. Plik PDF jest dostępny na stronie CKE i ma 34 strony z treścią. Ta sama broszura obowiązuje na poziomie podstawowym i rozszerzonym, dlatego są w niej też wzory, których na poziomie podstawowym nie użyjesz (np. pochodne i granice).

Na egzaminie dostajesz wydrukowany egzemplarz. Nie możesz wnieść własnego ani nic w nim dopisywać wcześniej.

Spis treści: 17 działów

Broszura jest podzielona na te działy:

1. Wartość bezwzględna liczby
2. Potęgi i pierwiastki
3. Logarytmy
4. Silnia. Współczynnik dwumianowy
5. Wzór dwumianowy Newtona
6. Wzory skróconego mnożenia
7. Funkcja kwadratowa
8. Ciągi
9. Trygonometria
10. Planimetria
11. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
12. Stereometria
13. Kombinatoryka
14. Rachunek prawdopodobieństwa
15. Parametry danych statystycznych
16. Pochodna funkcji
17. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

Co najważniejszego znajdziesz na karcie (poziom podstawowy)

Funkcja kwadratowa

• wyróżnik: $\Delta =b^2-4ac$,
• miejsca zerowe: $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ oraz przypadek $\Delta =0$,
• współrzędne wierzchołka: $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta }{4a}$,
• postać kanoniczna $f(x)=a(x-p{)}^2+q$ i iloczynowa $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$,
• wzory Viète'a.

Ciągi

• ciąg arytmetyczny: $a_n=a_1+(n-1)r$ i dwa wzory na sumę $S_n$,
• ciąg geometryczny: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ i suma $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\ne 1$,
• związki między sąsiednimi wyrazami,
• procent składany: $K_n=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$.

Trygonometria

• definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym,
• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ i $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$,
• wartości dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°,
• wybrane wzory redukcyjne, np. $\sin (180°-\alpha )=\sin \alpha$,
• na końcu broszury: tablica wartości sin, cos i tg dla kątów od 0° do 90° co 1°, z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.

Planimetria i geometria analityczna

• twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie sinusów i cosinusów, twierdzenie Talesa,
• wzory na pole trójkąta (także $P=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ i wzór Herona), pola czworokątów, koła i wycinka koła,
• cechy przystawania i podobieństwa trójkątów, kąty wpisane i środkowe,
• długość odcinka, środek odcinka, równanie prostej, warunki równoległości i prostopadłości, odległość punktu od prostej, równanie okręgu.

Stereometria, kombinatoryka, prawdopodobieństwo, statystyka

• pola i objętości graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli,
• permutacje, wariacje, kombinacje (symbol Newtona),
• klasyczna definicja prawdopodobieństwa $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$ i własności prawdopodobieństwa,
• średnia arytmetyczna, ważona, mediana, wariancja i odchylenie standardowe.

Czego NIE ma na karcie wzorów

To jest część, o której wiele osób dowiaduje się dopiero na egzaminie. Sprawdziliśmy broszurę CKE i nie znajdziesz w niej m.in.:

• wzoru na procent z liczby ani na podwyżki i obniżki - jest tylko procent składany. Jak liczyć procenty, pokazujemy w tekście jak obliczyć procent z liczby,
• sumy kątów w trójkącie i wielokącie,
• wzorów na przekątną kwadratu i sześcianu,
• metody rozwiązywania nierówności kwadratowej - są wzory na miejsca zerowe, ale szkic paraboli i odczytanie przedziału musisz umieć samodzielnie,
• wyjaśnień, kiedy którego wzoru użyć - broszura to lista wzorów, a nie instrukcja rozwiązywania zadań.

Wniosek: wzory z karty możesz traktować jako ściągę, ale podstawy (procenty, kąty w figurach, proste przekształcenia) trzeba mieć w głowie.

Przykład: jak użyć karty w zadaniu

Zadanie: wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli $f(x)=2x^2-8x+3$.

Na karcie, w dziale „Funkcja kwadratowa”, masz $p=-\frac{b}{2a}$ i $q=-\frac{\Delta }{4a}$. Odczytujesz współczynniki: $a=2$, $b=-8$, $c=3$.

Wierzchołek: $W=(2,-5)$. Sprawdzenie: $f(2)=2\cdot 4-16+3=-5$. Zgadza się.

Wzór był na karcie, ale punkty zdobywa się za to, że wiesz, którego wzoru szukać i gdzie go znaleźć. Więcej przykładów z funkcją kwadratową znajdziesz w tekstach jak obliczyć deltę i postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Drugi przykład: ciąg arytmetyczny

Zadanie: w ciągu arytmetycznym $a_1=3$, a różnica $r=4$. Oblicz $a_{10}$ i sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

Na karcie w dziale „Ciągi” masz $a_n=a_1+(n-1)r$:

Suma - też z karty: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$:

Drugi wzór z karty, $S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$, daje ten sam wynik: $\frac{6+36}{2}\cdot 10=210$. Więcej zadań tego typu jest w tekście wzory na ciąg arytmetyczny i geometryczny.

Trzeci przykład: tablica wartości trygonometrycznych

Zadanie: w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10, a jeden z kątów ostrych ma 37°. Oblicz długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta.

Z definicji sinusa: przyprostokątna $=10\cdot \sin 37°$. Kalkulator prosty nie liczy sinusa, więc otwierasz tablicę na końcu broszury i w wierszu 37° odczytujesz $\sin 37°\approx 0,6018$. Wynik: $10\cdot 0,6018\approx 6,02$.

Dla kątów 30°, 45° i 60° używaj dokładnych wartości (np. $\sin 30°=\frac{1}{2}$), a nie przybliżeń z tablicy - zobacz tabela sin, cos, tg dla 30°, 45°, 60°.

Jak nauczyć się korzystać z karty wzorów

1. Wydrukuj ją teraz. Pobierz PDF ze strony CKE i używaj go przy każdym zadaniu domowym, nie tylko przed egzaminem.
2. Rozwiązuj arkusze tylko z kartą. Bez własnych notatek. Tak jak na maturze.
3. Zapamiętaj układ. Po kilku tygodniach warto wiedzieć bez szukania, że ciągi są przed trygonometrią, a tablica wartości na samym końcu.
4. Zaznacz sobie w głowie, czego brakuje. Procenty, kąty w wielokątach, podstawowe pola figur - te rzeczy powtarzaj osobno.
5. Nie przepisuj wzorów bezmyślnie. Zanim podstawisz, sprawdź, czy warunki wzoru są spełnione (np. suma ciągu geometrycznego $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ działa tylko dla $q\ne 1$).

Najczęstsze błędy przy korzystaniu z karty

• szukanie wzoru za długo - jeśli pierwszy raz otwierasz broszurę na egzaminie, każdy wzór kosztuje kilka minut,
• pomylenie znaków - we wzorze na wierzchołek jest minus: $p=-\frac{b}{2a}$. Gdy $b$ jest ujemne, minus razy minus daje plus,
• użycie wzoru z rozszerzenia tam, gdzie wystarczy prostsza metoda z poziomu podstawowego,
• przepisanie wzoru bez podstawienia danych - w zadaniu otwartym sam wzór zwykle nie daje punktu, liczy się zastosowanie go do danych z zadania.

Pozostałe przybory na maturze z matematyki

Oprócz broszury ze wzorami możesz mieć linijkę, cyrkiel i kalkulator prosty (bez funkcji trygonometrycznych i logarytmów). Wartości sin, cos i tg odczytujesz więc z tablicy na końcu karty, a nie z kalkulatora. Pełną listę przyborów i wszystkie terminy znajdziesz w artykule matura z matematyki 2027: terminy i zasady.

Ćwicz z kartą w ręku

Najlepszy trening to zadania z arkuszy CKE rozwiązywane z broszurą obok. Znajdziesz je w zestawieniu zadania maturalne CKE według działów oraz w Turbo Matmie, gdzie po każdym zadaniu widzisz pełne rozwiązanie.