Matura z matematyki · poziom podstawowy

Dowody

Zadanie „wykaż, że” nie ma wyniku liczbowego - oceniany jest tok rozumowania. Dowód musi zaczynać się od założeń, a kończyć tezą; każde przejście powinno wynikać z poprzedniego. Samo sprawdzenie na kilku przykładach nie jest dowodem.

W dowodach algebraicznych najczęściej przekształcamy nierówność do postaci, w której po jednej stronie jest kwadrat (zawsze nieujemny), albo rozkładamy wyrażenie na czynniki. Przy podzielności przydaje się zapis liczby jako iloczynu kolejnych liczb całkowitych.

Dowody geometryczne opierają się na przystawaniu i podobieństwie trójkątów oraz na własnościach kątów. Warto zawsze opisać, z jakiego twierdzenia korzystamy - egzaminator nie domyśla się uzasadnienia.

Najważniejsze wzory

Kwadrat jest nieujemny
$(a - b)^2 \ge 0 \iff a^2 + b^2 \ge 2ab$
Iloczyn kolejnych liczb
$n^3 - n = (n - 1)\, n\, (n + 1)$
Liczba parzysta i nieparzysta
$2k, \qquad 2k + 1, \qquad k \in \mathbb{Z}$

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n

liczba

n^3 - n

jest podzielna przez

6\text{.}

Rozkładamy: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)\,n\,(n + 1)\text{.}$
To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród nich co najmniej jedna jest parzysta i dokładnie jedna jest podzielna przez $3\text{.}$
Iloczyn jest więc podzielny przez $2$ i przez $3\text{,}$ a ponieważ $2$ i $3$ są względnie pierwsze - także przez $6\text{.}$

Odpowiedź: Teza zachodzi dla każdej liczby całkowitej $n\text{.}$

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Więcej zadań do ćwiczeń

Zadania w stylu maturalnym z otwartego zbioru (licencja CC BY-SA 4.0). Rozwiązania przygotowało zdaje.com.

Zadanie 1

Uzasadnij, że ciąg określony wzorem

a_n=\left(\dfrac32\right)^n

jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz iloraz tego ciągu.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź:

q=\dfrac32

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Liczymy iloraz kolejnych wyrazów:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(\frac32\right)^{n+1}}{\left(\frac32\right)^n}=\dfrac32

.
Ponieważ ten iloraz nie zależy od

n

i jest stały, ciąg

(a_n)

jest geometryczny.
Wyznaczony w ten sposób iloraz wynosi

q=\dfrac32

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 2

Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego

\alpha

wartość wyrażenia

\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^2\alpha

jest stała, i oblicz tę wartość.

A. $1$
B. $-1$
C. $0$
D. $2$

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: A ( $1$ )

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Wyłączamy

\sin^2\alpha

z dwóch pierwszych składników:

\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+\cos^2\alpha\text{.}

Z jedynki trygonometrycznej

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\text{,}

więc wyrażenie upraszcza się do

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\text{.}

To ponownie

1

- wyrażenie jest stałe i równe

1\text{.}

Na podstawie zadania z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 3

Dana jest funkcja określona wzorem

f(x)=3x-5\text{.}

Wyznacz ogólny wyraz ciągu

a_n\text{,}

wiedząc, że:

a_1=f(2)\text{,}

a_2=f(4)\text{,}

a_3=f(6),\ldots,a_n=f(2n),\ldots\text{.}

Uzasadnij, że ciąg

(a_n)

jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz sumę

a_{50}+a_{51}+\cdots+a_{60}\text{.}

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $3575$

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Skoro

a_n=f(2n)=3\cdot 2n-5=6n-5\text{,}

to wyraz ogólny to

a_n=6n-5\text{.}

Różnica kolejnych wyrazów jest stała:

a_{n+1}-a_n=6(n+1)-5-(6n-5)=6\text{,}

więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy

r=6\text{.}

Suma

a_{50}+\ldots+a_{60}

to suma

11

kolejnych wyrazów:

\sum_{n=50}^{60}(6n-5)=6\cdot\sum_{n=50}^{60}n-5\cdot 11\text{.}

\sum_{n=50}^{60}n=\dfrac{(50+60)\cdot 11}{2}=605

, więc suma wynosi

6\cdot 605-55=3630-55=3575\text{.}

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 4

Niech

a_n\text{,}

dla

n\ge3\text{,}

będzie liczbą krawędzi graniastosłupa prostego o podstawie będącej

n

-kątem foremnym. Wyznacz wzór ciągu

(a_n)\text{.}

Sprawdź, czy ciąg

(a_n)

jest ciągiem arytmetycznym. Uzasadnij, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy 2009.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $a_n=3n\text{;}$ ciąg jest arytmetyczny (różnica 3); żaden wyraz nie jest równy 2009, bo 2009 nie dzieli się przez 3

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Graniastosłup o podstawie

n

-kąta foremnego ma dwie podstawy (

n

-kąty) po

n

krawędzi każda, czyli

2n

krawędzi podstaw, oraz

n

krawędzi bocznych łączących odpowiadające sobie wierzchołki.
Łączna liczba krawędzi:

a_n=2n+n=3n\text{.}

Różnica kolejnych wyrazów:

a_{n+1}-a_n=3(n+1)-3n=3

- jest stała, więc ciąg

(a_n)

jest arytmetyczny o różnicy 3.
Gdyby pewien wyraz był równy 2009, to musiałoby być

3n=2009\text{,}

czyli

n=\frac{2009}{3}\text{.}

Ponieważ

2009=3\cdot669+2

nie dzieli się przez 3, liczba

n

nie byłaby liczbą naturalną - żaden wyraz ciągu nie jest równy 2009.

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 5

Wykaż, że

\sqrt{8-2\sqrt{15}}+\sqrt{5-2\sqrt6}+\sqrt{8+2\sqrt2-2\sqrt5-2\sqrt{10}}=1\text{.}

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $1$

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

8-2\sqrt{15}=5-2\sqrt{15}+3=(\sqrt5-\sqrt3)^2\text{,}

więc pierwszy składnik to

\sqrt5-\sqrt3\text{.}

5-2\sqrt6=3-2\sqrt6+2=(\sqrt3-\sqrt2)^2\text{,}

więc drugi składnik to

\sqrt3-\sqrt2\text{.}

8+2\sqrt2-2\sqrt5-2\sqrt{10}=1+2+5+2\sqrt2-2\sqrt5-2\sqrt{10}=(1+\sqrt2-\sqrt5)^2\text{,}

więc trzeci składnik to

1+\sqrt2-\sqrt5\text{.}

Suma:

(\sqrt5-\sqrt3)+(\sqrt3-\sqrt2)+(1+\sqrt2-\sqrt5)=1

- wszystkie pierwiastki się skracają.

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 6

Wykaż, że funkcja kwadratowa

f(x)=x^2+(b+2)x+2b

ma co najmniej jedno miejsce zerowe dla każdej wartości parametru

b\text{.}

Dla jakiej wartości parametru

b

funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe? Wyznacz to miejsce.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $b=2\text{,}$ miejsce zerowe $x=-2$

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Obliczamy wyróżnik trójmianu:

\Delta=(b+2)^2-4\cdot1\cdot2b=b^2+4b+4-8b=b^2-4b+4=(b-2)^2\text{.}

Ponieważ

\Delta=(b-2)^2\ge0

dla każdej liczby rzeczywistej

b\text{,}

funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe niezależnie od

b

- to kończy dowód pierwszej części.
Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe (podwójne), gdy

\Delta=0\text{,}

czyli gdy

(b-2)^2=0\text{,}

co daje

b=2\text{.}

Dla

b=2

funkcja to

f(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\text{,}

a jej jedyne miejsce zerowe to

x=-2\text{.}

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Zadanie 7

Ciąg

(x-3,x+3,6x+2,\ldots)

jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że

\dfrac{S_{19}}{S_{20}}<\dfrac14

, gdzie

S_n

oznacza sumę

n

początkowych wyrazów tego ciągu.

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $q=4$

Rozwiązanie krok po kroku (sprawdzone przez zdaje.com)

Warunek geometryczności trzech wyrazów:

(x+3)^2=(x-3)(6x+2)\text{,}

co po uproszczeniu daje

5x^2-22x-15=0\text{.}

Rozwiązania:

x=5

lub

x=-\dfrac{3}{5}

. Dla

x=-\frac35

pierwszy wyraz

x-3

byłby ujemny, więc odrzucamy - zostaje

x=5\text{.}

Wyrazy:

x-3=2\text{,}

x+3=8\text{,}

6x+2=32\text{,}

więc

q=\dfrac82=4

(sprawdzenie:

32/8=4

).
Suma:

S_n=\dfrac{2(4^n-1)}{3}

. Wtedy

\dfrac{S_{19}}{S_{20}}=\dfrac{4^{19}-1}{4^{20}-1}

.
Ponieważ

4^{20}-1=4(4^{19}-1)+3>4(4^{19}-1)\text{,}

mamy

\dfrac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\dfrac{4^{19}-1}{4(4^{19}-1)}=\dfrac14

, co kończy uzasadnienie.

Zadanie z portalu zadania.info · licencja CC BY-SA 4.0 · creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Rozwiąż kolejne zadania z dowodów

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z dowodów

Powiązane działy

Na blogu

Wzory skróconego mnożenia - wszystkie wzory i zadania

Wszystkie działy · Arkusze CKE