Przedziały liczbowe - nawias otwarty i zamknięty, działania

Wystarczy spojrzeć na znak nierówności:

• znak ostry ($<$ albo $>$) - koniec nie należy, nawias okrągły, na osi puste kółko,
• znak nieostry ($\le$ albo $\ge$) - koniec należy, nawias kwadratowy, na osi zamalowane kółko.

Nieskończoność to nie liczba, więc nie może „należeć” do przedziału. Zapis $[3,+\infty ]$ jest błędny.

Nawias kwadratowy czy ostry?

Oba są poprawne. Informator CKE do matury z matematyki zapisuje przedziały domknięte nawiasami kwadratowymi, np. $[a,b]$, i wprost dopuszcza zapis $⟨a,b⟩$. W arkuszach od 2023 r. w odpowiedziach zobaczysz głównie nawiasy kwadratowe, np. $[-4,\infty )$.

Długość przedziału i liczby całkowite w przedziale

Długość przedziału o końcach $a$ i $b$ to $b-a$, bez względu na nawiasy. Przedział $(-2,3]$ ma długość $3-(-2)=5$.

Nawiasy mają za to znaczenie, gdy liczysz liczby całkowite. W przedziale $(-2,3]$ leżą: $-1,0,1,2,3$, czyli 5 liczb, bo $-2$ nie należy, a $3$ należy. W przedziale $[-2,3]$ jest ich już 6. Takie pytania („ile liczb całkowitych spełnia nierówność”) często pojawiają się w zadaniach zamkniętych.

Działania na przedziałach

Przedziały to zbiory, więc możesz je dodawać, szukać części wspólnej i odejmować. Informator CKE używa oznaczeń: $A\cup B$ (suma), $A\cap B$ (iloczyn, czyli część wspólna) i $A\setminus B$ (różnica). Najprościej narysować oba przedziały na jednej osi, jeden nad drugim.

Weźmy $A=[-3,2)$ i $B=(0,5]$.

Najwięcej błędów jest przy końcach. W $A\setminus B$ liczba $0$ zostaje, bo nie należy do $B$ (przy zerze $B$ ma nawias okrągły). W $B\setminus A$ liczba $2$ zostaje, bo nie należy do $A$.

Dopełnienie przedziału to wszystko, co zostaje z osi: $\mathbb{R}\setminus [-1,4)=(-\infty ,-1)\cup [4,+\infty )$. Nawiasy przy końcach „zamieniają się”: co było w środku, wypada, i odwrotnie.

Przedziały w nierównościach - zadania CKE

Rozwiązanie nierówności zapisujesz przedziałem. Uwagi do podstawy programowej podkreślają, że liczy się poprawność, a nie jedna konkretna forma. Rozwiązanie nierówności $x^2-9x+20>0$ można zapisać słowami („liczby mniejsze od 4 lub większe od 5”), jako $x<4$ lub $x>5$, albo jako $x\in (-\infty ,4)\cup (5,\infty )$.

Matura, maj 2023, zadanie 6

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+3)\le \frac{2-x}{3}$ jest przedział: A. $(-\infty ,-4]$, B. $(-\infty ,4]$, C. $[-4,\infty )$, D. $[4,\infty )$.

Mnożysz obie strony przez 3: $-6x-18\le 2-x$, czyli $-5x\le 20$. Dzielisz przez $-5$ i odwracasz znak: $x\ge -4$. Znak nieostry, więc $-4$ należy do zbioru. Odpowiedź C.

Matura, maj 2025, zadanie 6

Trzeba było wskazać rysunek osi ze zbiorem rozwiązań nierówności $3-2(1-2x)\ge 2x-17$. Po opuszczeniu nawiasu: $1+4x\ge 2x-17$, więc $2x\ge -18$ i $x\ge -9$. Poprawny rysunek ma zamalowane kółko w $-9$ i strzałkę w prawo, czyli przedział $[-9,+\infty )$.

Nierówności kwadratowe dają często sumę dwóch przedziałów albo przedział ograniczony z obu stron. Krok po kroku pokazujemy to we wpisie nierówności kwadratowe.

Nawias otwarty czy zamknięty przy funkcjach

Gdy odczytujesz z wykresu dziedzinę albo zbiór wartości, patrzysz na końce wykresu:

• zamalowana kropka - punkt należy do wykresu, więc nawias kwadratowy,
• pusta kropka - punkt nie należy do wykresu, więc nawias okrągły,
• wykres „ucieka” strzałką poza rysunek - po tej stronie nieskończoność i nawias okrągły.

Jeśli pytanie brzmi „dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie”, miejsca zerowe nie wchodzą do odpowiedzi (w nich wartość to $0$, a zero nie jest dodatnie), więc przy nich stoją nawiasy okrągłe. Przy wartościach nieujemnych ($\ge 0$) miejsca zerowe już wchodzą. Takie pytania znajdziesz w informatorze CKE i w dziale własności funkcji.

Przedziały i wartość bezwzględna

Wartość $|x-a|$ to odległość liczby $x$ od $a$ na osi. Karta wzorów CKE podaje:

$|x-a|\le r$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a-r\le x\le a+r$.

Przykład: $|x-3|\le 2$ to liczby odległe od $3$ o co najwyżej $2$, czyli przedział $[1,5]$. Na poziomie podstawowym podstawa wymaga interpretacji wartości bezwzględnej i równań typu $|x+4|=5$. Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną to wymaganie z poziomu rozszerzonego. Zadania znajdziesz w dziale wartość bezwzględna.

Najczęstsze błędy

1. Nawias kwadratowy przy nieskończoności: $[2,+\infty ]$ zamiast $[2,+\infty )$.
2. Brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną - wtedy wychodzi przedział „w złą stronę”.
3. Pomylenie sumy z częścią wspólną: suma to „lub” (bierzesz wszystko), część wspólna to „i” (tylko to, co się nakłada).
4. Zapis przedziału z końcami w złej kolejności, np. $(5,2)$. Mniejsza liczba zawsze stoi po lewej.
5. Zgubienie końca przy różnicy przedziałów - zawsze sprawdź osobno każdy koniec.

Szybki test

1. Zapisz przedziałem: $-1<x\le 4$. Ile liczb całkowitych do niego należy?
2. Oblicz $C\cap D$ i $C\cup D$ dla $C=[1,6)$ i $D=[4,8]$.
3. Zapisz przedziałem zbiór liczb, które spełniają $|x-3|\le 2$.

Odpowiedzi: 1. $(-1,4]$, pięć liczb: $0,1,2,3,4$. 2. $C\cap D=[4,6)$, $C\cup D=[1,8]$. 3. $[1,5]$.

Przedziały to część działu liczby rzeczywiste. Kolejny krok to funkcja liniowa, gdzie z przedziałów korzystasz przy monotoniczności i nierównościach liniowych. Zadania CKE z tego zakresu są w dziale równania i nierówności, a krótkie codzienne porcje zrobisz w treningu na zdaje.com.