Nierówności kwadratowe - jak rozwiązywać, przykłady, zadania

1. Uporządkuj nierówność. Opuść nawiasy i przenieś wszystko na lewą stronę, tak żeby po prawej zostało $0$.
2. Policz miejsca zerowe trójmianu $a{x}^2+bx+c$. Zwykle z delty: $\Delta =b^2-4ac$, $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$. Jeśli $c=0$ albo widać wzór skróconego mnożenia, wystarczy rozłożyć na czynniki.
3. Naszkicuj parabolę. Zaznacz miejsca zerowe na osi. Gdy $a>0$, ramiona idą w górę, gdy $a<0$ - w dół. Wystarczy szkic, bez dokładnego wierzchołka.
4. Odczytaj rozwiązanie. Dla $>0$ bierzesz argumenty, gdzie parabola jest nad osią, dla $<0$ - pod osią. Przy $\ge$ i $\le$ dołączasz miejsca zerowe (nawias kwadratowy), przy $>$ i $<$ nie (nawias okrągły).

Wzory na deltę i miejsca zerowe są w karcie wzorów CKE. Jeśli delta sprawia kłopot, zobacz jak obliczyć deltę krok po kroku.

Zadanie CKE z punktacją: matura, maj 2025, zadanie 10

Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1)<11x$.

Krok 1. $6x^2+3<11x$, czyli $6x^2-11x+3<0$.

Krok 2. $\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 6\cdot 3=121-72=49$, $\sqrt{\Delta }=7$.

$x_1=\frac{11-7}{12}=\frac{1}{3}$, $x_2=\frac{11+7}{12}=\frac{3}{2}$.

Krok 3. $a=6>0$, ramiona w górę. Parabola jest pod osią między miejscami zerowymi.

Krok 4. Znak $<$, więc końce nie należą: $x\in \left(\frac{1}{3},\frac{3}{2}\right)$.

Według zasad oceniania CKE za to zadanie dostajesz:

• 1 punkt za obliczenie pierwiastków $x_1=\frac{1}{3}$ i $x_2=\frac{3}{2}$,
• 2 punkty za poprawną metodę i zapis zbioru rozwiązań - przedziałem albo na rysunku osi z poprawnie zaznaczonymi końcami.

Dwie uwagi z tych zasad warto znać. Jeśli przez błąd rachunkowy wyjdzie ujemna delta i mimo to liczysz pierwiastki, dostajesz 0 punktów. Jeśli przez pomyłkę w rachunkach wyjdą dwa inne pierwiastki, ale dalej postępujesz konsekwentnie, możesz dostać 1 punkt.

Inne przykłady z matur

Matura, czerwiec 2025, zadanie 9

$x(x+4)<x-2$. Po przeniesieniu: $x^2+4x-x+2<0$, czyli $x^2+3x+2<0$. $\Delta =9-8=1$, $x_1=-2$, $x_2=-1$. Ramiona w górę, szukamy wartości ujemnych: $x\in (-2,-1)$.

Matura, czerwiec 2023, zadanie 8 - bez delty

$x(2x-1)<2x$. Po przeniesieniu: $2x^2-3x<0$. Wyłączasz $x$ przed nawias: $x(2x-3)<0$. Miejsca zerowe to $0$ i $\frac{3}{2}$. Ramiona w górę, więc $x\in \left(0,\frac{3}{2}\right)$.

Gdy nie ma wyrazu wolnego ($c=0$), wyłączenie $x$ przed nawias jest szybsze niż delta i trudniej o pomyłkę.

Przykład z ułamkiem w wyniku i sumą przedziałów

$3x^2-2x-16\ge 0$.

$\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-16)=4+192=196$, $\sqrt{\Delta }=14$.

$x_1=\frac{2-14}{6}=-2$, $x_2=\frac{2+14}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$.

Ramiona w górę, szukasz wartości nieujemnych, czyli tego, co nad osią i na niej. To dwa kawałki po bokach miejsc zerowych: $x\in (-\infty ,-2]\cup \left[\frac{8}{3},+\infty \right)$.

Gdy parabola ma ramiona w górę, a znak to $>$ albo $\ge$, wynik jest zawsze sumą dwóch przedziałów (o ile delta jest dodatnia). Gdy znak to $<$ albo $\le$, wynik to jeden przedział między miejscami zerowymi. Ułamek w wyniku, np. $\frac{8}{3}$, zostaw w tej postaci - nie zaokrąglaj do $2,67$.

Przykład z ujemnym współczynnikiem $a$

$-x^2+x+6\ge 0$.

$\Delta =1+24=25$, $x_1=\frac{-1-5}{-2}=3$, $x_2=\frac{-1+5}{-2}=-2$. Ramiona w dół, więc parabola jest nad osią między miejscami zerowymi. Znak $\ge$, więc końce należą: $x\in [-2,3]$.

Możesz też pomnożyć obie strony przez $-1$ i odwrócić znak: $x^2-x-6\le 0$. Wynik ten sam. Najczęstszy błąd to pomnożenie przez $-1$ bez odwrócenia znaku.

Gdy delta jest zerowa albo ujemna

Brak dwóch miejsc zerowych nie oznacza, że nierówność nie ma rozwiązań. Trzeba popatrzeć, gdzie leży parabola.

Delta ujemna - parabola nie dotyka osi. Przykład: $x^2+2x+5$, $\Delta =4-20=-16$. Ramiona w górę, więc cała parabola jest nad osią:

• $x^2+2x+5>0$ - spełnia ją każda liczba rzeczywista, $x\in \mathbb{R}$,
• $x^2+2x+5<0$ - brak rozwiązań, $x\in \varnothing$.

Delta równa zero - parabola dotyka osi w jednym punkcie. Przykład: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$.

Kwadrat liczby nigdy nie jest ujemny - to wystarczy, żeby wypełnić tę tabelę bez rysowania.

Szybkie przypadki bez liczenia delty

• $x^2-9>0$: ze wzoru $a^2-b^2$ masz $(x-3)(x+3)>0$, więc $x\in (-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$.
• $x^2\ge 16$: $x\in (-\infty ,-4]\cup [4,+\infty )$. Uwaga: to nie jest „$x\ge 4$” - liczby ujemne, np. $-5$, też spełniają tę nierówność.
• $x^2-4x\le 0$: $x(x-4)\le 0$, więc $x\in [0,4]$.

Więcej o rozkładaniu na czynniki przeczytasz we wpisie wzory skróconego mnożenia.

Najczęstsze błędy

1. Pierwiastkowanie obu stron: z $x^2>9$ wyciąga się „$x>3$” i gubi przedział $(-\infty ,-3)$.
2. Zła strona paraboli: przy $>0$ bierzesz to, co nad osią, przy $<0$ - pod osią. Szkic zajmuje 10 sekund i chroni przed tym błędem.
3. Nawiasy przy końcach: przy $<$ i $>$ okrągłe, przy $\le$ i $\ge$ kwadratowe. Szczegóły zapisu omawiamy we wpisie przedziały liczbowe.
4. Dzielenie przez $x$: z $x^2>3x$ nie wolno zrobić „$x>3$”, bo $x$ może być ujemny albo równy zero. Przenieś wszystko na lewo: $x(x-3)>0$, czyli $x\in (-\infty ,0)\cup (3,+\infty )$.
5. Brak odpowiedzi końcowej: same miejsca zerowe to tylko 1 punkt z 2.

Szybki test

1. $2x^2-5x-3\le 0$
2. $4x-x^2>0$
3. $x^2+2x+5<0$

Odpowiedzi: 1. $\Delta =49$, miejsca zerowe $-\frac{1}{2}$ i $3$, $x\in \left[-\frac{1}{2},3\right]$. 2. $x(4-x)>0$, ramiona w dół, $x\in (0,4)$. 3. Brak rozwiązań ($\Delta <0$, ramiona w górę).

Nierówności kwadratowe łączą się z funkcją kwadratową: przy zadaniach z parametrem i z wykresem przyda się też postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Nierówności liniowe, od których warto zacząć, omawiamy we wpisie funkcja liniowa. Zadania CKE z tego zakresu znajdziesz w dziale równania i nierówności i funkcja kwadratowa, a codzienne porcje zadań w treningu na zdaje.com.