Funkcja liniowa - wzór, miejsce zerowe, wykres i zadania

Współczynnik $a$ mówi też, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy $x$ rośnie o 1. Dla $f(x)=3x-2$ każdy krok w prawo o 1 to wzrost wartości o 3.

Karta wzorów CKE podaje związek z kątem nachylenia prostej do osi $Ox$: $a=\mathrm{tg}\alpha$. Dla $a=1$ kąt ma $45°$, dla $a=\sqrt{3}$ - $60°$.

Jak narysować wykres funkcji liniowej

Prostą wyznaczają dwa punkty, więc wystarczy policzyć wartość funkcji dla dwóch argumentów. Najwygodniej wziąć $x=0$ (od razu dostajesz $b$) i drugą liczbę, dla której rachunek jest łatwy.

Przykład: $f(x)=\frac{1}{2}x-1$.

Zaznaczasz punkty $(0,-1)$ i $(4,1)$ i prowadzisz przez nie prostą. Przy ułamku w $a$ wybierz $x$ podzielny przez mianownik - wtedy nie będzie ułamków na wykresie. Kontrola: $a=\frac{1}{2}>0$, więc prosta musi rosnąć.

Ten sam rachunek to wartość funkcji dla danego argumentu: $f(4)=\frac{1}{2}\cdot 4-1=1$. Gdy w zadaniu pytają, czy punkt $(6,3)$ leży na wykresie, liczysz $f(6)=3-1=2$. Wynik to $2$, a nie $3$, więc punkt nie leży na wykresie.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$. Rozwiązujesz równanie $ax+b=0$:

$x_0=-\frac{b}{a}$, gdy $a\ne 0$.

Przykład: $f(x)=-2x+6$. $-2x+6=0$, więc $x=3$. Wykres przecina oś $Ox$ w punkcie $(3,0)$.

Gdy $a=0$, są dwie możliwości:

• $b\ne 0$, np. $f(x)=4$ - funkcja nie ma miejsca zerowego,
• $b=0$, czyli $f(x)=0$ - każda liczba jest miejscem zerowym.

Z tego korzysta zadanie z matury z maja 2025 r.

Matura, maj 2025, zadanie 13

Funkcja $f(x)=(3-m)x-4$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego: A. $-3$, B. $0$, C. $3$, D. $4$.

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego tylko wtedy, gdy jest stała i różna od zera. Potrzeba więc $3-m=0$, czyli $m=3$. Wtedy $f(x)=-4$. Odpowiedź C.

Matura, czerwiec 2024, zadanie 13

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f(x)=(3-m)x+4$. Podstawiasz $x=2$ i przyrównujesz do zera: $(3-m)\cdot 2+4=0$, czyli $10-2m=0$ i $m=5$. Odpowiedź D.

Jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej z dwóch punktów

Dane są punkty $A=(1,3)$ i $B=(4,9)$ leżące na wykresie.

1. Liczysz współczynnik kierunkowy: $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{9-3}{4-1}=2$.
2. Podstawiasz jeden punkt do $y=ax+b$: $3=2\cdot 1+b$, więc $b=1$.
3. Wzór: $f(x)=2x+1$. Sprawdzenie drugim punktem: $2\cdot 4+1=9$. Zgadza się.

Wzór na $a$ z dwóch punktów jest w karcie wzorów CKE. Zamiast niego możesz też ułożyć układ dwóch równań: $3=a+b$ i $9=4a+b$ - przyda się metoda podstawiania.

Matura, sierpień 2023, zadanie 11

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ jest $1$, a wykres przechodzi przez punkt $(-1,4)$. Miejsce zerowe daje drugi punkt wykresu: $(1,0)$. Stąd $a=\frac{4-0}{-1-1}=-2$, a z $0=-2\cdot 1+b$ masz $b=2$. Wzór: $f(x)=-2x+2$. Odpowiedź C.

Funkcja rosnąca, malejąca - zadania z parametrem

O monotoniczności decyduje tylko znak $a$. Dlatego w zadaniu z parametrem układasz nierówność dla współczynnika przy $x$.

Matura, maj 2024, zadanie 12

Funkcja $f(x)=(-2k+3)x+k-1$ jest malejąca dla każdego $k$ z przedziału: A. $(-\infty ,1)$, B. $\left(-\infty ,-\frac{3}{2}\right)$, C. $(1,+\infty )$, D. $\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.

Malejąca, gdy $a<0$: $-2k+3<0$, czyli $-2k<-3$. Dzielisz przez $-2$ i odwracasz znak: $k>\frac{3}{2}$. Odpowiedź D. Wyraz wolny $k-1$ nie ma tu znaczenia.

Matura, czerwiec 2025, zadanie 11

Funkcja $f(x)=\frac{1}{2}x-k$ ma miejsce zerowe większe od $2$. Z $\frac{1}{2}x-k=0$ masz $x=2k$. Warunek $2k>2$ daje $k>1$, czyli $k\in (1,+\infty )$. Odpowiedź D.

Odpowiedzi w takich zadaniach to przedziały - jak je zapisywać, wyjaśniamy we wpisie przedziały liczbowe.

Wykresy równoległe i przesunięcie wykresu

Wykresy dwóch funkcji liniowych są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik $a$. Jeśli dodatkowo mają różne $b$, nie mają żadnego punktu wspólnego.

Przykład z informatora CKE: wykresy $f(x)=(2m+7)x+5$ i $g(x)=3x$ nie mają punktów wspólnych, gdy $2m+7=3$, czyli $m=-2$ (wyrazy wolne $5$ i $0$ są różne).

Prostopadłość ($a_1\cdot a_2=-1$) jest w karcie wzorów, ale w obecnej podstawie programowej wyznaczanie prostej prostopadłej to wymaganie z poziomu rozszerzonego. Więcej o równaniach prostych przeczytasz w tekście równanie prostej - zadania maturalne.

Przesunięcie wykresu. Wykres $y=f(x-p)$ to wykres $f$ przesunięty o $p$ w prawo, a $y=f(x)+q$ - o $q$ w górę. Matura, czerwiec 2025, zadanie 12: wykres $f(x)=5x$ przesunięto o 1 w prawo. Wtedy $g(x)=5(x-1)=5x-5$. Odpowiedź A.

Funkcja liniowa w zadaniach z życia

Funkcja liniowa opisuje sytuacje „opłata stała + stała stawka za jednostkę”. Taksówka: 8 zł za start i 3 zł za kilometr. Koszt przejazdu $x$ km to $K(x)=3x+8$. Tu $a=3$ to cena za kilometr, a $b=8$ to opłata startowa. Ile kilometrów przejedziesz za 38 zł? $3x+8=38$, więc $x=10$.

Podstawa programowa wymaga, żeby umieć wykorzystać własności funkcji liniowej w takich zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym.

Najczęstsze błędy

1. Mylenie miejsca zerowego z $b$. $b$ to punkt na osi $Oy$, a miejsce zerowe leży na osi $Ox$.
2. Zły znak w $-\frac{b}{a}$. Dla $f(x)=2x+1$ miejsce zerowe to $-\frac{1}{2}$, nie $\frac{1}{2}$.
3. Brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną w zadaniach z parametrem.
4. Odwrotna kolejność we wzorze na $a$: odejmujesz współrzędne w tej samej kolejności w liczniku i mianowniku.
5. Zapominanie o $a=0$. Funkcja stała też jest funkcją liniową.

Szybki test

1. Podaj miejsce zerowe funkcji $f(x)=-2x+6$ i punkt przecięcia z osią $Oy$.
2. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez $(2,1)$ i jest równoległy do wykresu $y=3x-4$.
3. Dla jakiego $m$ funkcja $f(x)=(m-4)x+2$ jest rosnąca?

Odpowiedzi: 1. $x=3$, punkt $(0,6)$. 2. $a=3$, $1=3\cdot 2+b$, więc $b=-5$ i $f(x)=3x-5$. 3. $m-4>0$, czyli $m>4$.

Funkcja liniowa jest wstępem do nierówności kwadratowych i funkcji kwadratowej. Zadania CKE z tego działu znajdziesz w dziale funkcja liniowa, a krótkie codzienne porcje zadań w treningu na zdaje.com.