Wzory Viète'a - czy są w karcie wzorów i jak ich używać

Weź równanie $2x^2-7x+3=0$. Tutaj $a=2$, $b=-7$, $c=3$.

Najpierw warunek: $\Delta =(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25\ge 0$. Można korzystać ze wzorów:

• suma: $x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$,
• iloczyn: $x_1\cdot x_2=\frac{3}{2}$.

Sprawdzenie: rozwiązania to $3$ i $\frac{1}{2}$. Suma $3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$, iloczyn $3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Zgadza się.

Najczęstszy błąd to zgubienie minusa w sumie. Suma to minus $b$ przez $a$, iloczyn to $c$ przez $a$ bez minusa.

Po co warunek $\Delta \ge 0$

Wzory Viète'a mówią o rozwiązaniach rzeczywistych. Jeśli ich nie ma, nie ma czego dodawać ani mnożyć.

Przykład: $x^2+2x+5=0$. Ze wzorów „wyszłoby” $x_1+x_2=-2$ i $x_1\cdot x_2=5$. Ale $\Delta =4-20=-16<0$, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Te liczby nic nie znaczą.

Dlatego zawsze zaczynasz od delty. Przy $\Delta =0$ wzory też działają, tylko $x_1=x_2$. Dla $x^2-6x+9=0$ jedyne rozwiązanie to $3$, a wzory dają sumę $6$ i iloczyn $9$, czyli $3+3$ i $3\cdot 3$.

Jeśli zadanie mówi o dwóch różnych rozwiązaniach, warunek jest ostrzejszy: $\Delta >0$. To częsta pułapka na maturze rozszerzonej, wrócimy do niej przy zadaniu CKE.

Najważniejsze zastosowania

Sztuka polega na tym, żeby wyrażenie z $x_1$ i $x_2$ zapisać za pomocą sumy i iloczynu. Kontynuujemy przykład $2x^2-7x+3=0$, gdzie suma to $\frac{7}{2}$, a iloczyn $\frac{3}{2}$.

Rachunek dla sumy kwadratów: ${\left(\frac{7}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{3}{2}=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$. Sprawdzenie na rozwiązaniach: $9+\frac{1}{4}=\frac{37}{4}$.

Suma kwadratów bierze się ze wzoru skróconego mnożenia $(x_1+x_2{)}^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$. Wystarczy odjąć $2x_1{x}_2$. Przy sumie odwrotności pamiętaj, że iloczyn nie może być zerem.

Prawdziwa oszczędność czasu jest wtedy, gdy rozwiązania są „brzydkie”. Dla $x^2-8x+5=0$ masz $\Delta =44$, a rozwiązania to $4-\sqrt{11}$ i $4+\sqrt{11}$. Ze wzorów Viète'a od razu: suma $8$, iloczyn $5$, suma kwadratów $64-10=54$. Bez podnoszenia pierwiastków do kwadratu.

Znaki rozwiązań bez ich liczenia

Wzory Viète'a mówią też, jakie znaki mają rozwiązania:

• iloczyn ujemny ($\frac{c}{a}<0$) - rozwiązania mają różne znaki; wtedy delta jest na pewno dodatnia, bo $ac<0$,
• iloczyn dodatni i suma dodatnia (przy $\Delta \ge 0$) - oba rozwiązania dodatnie,
• iloczyn dodatni i suma ujemna (przy $\Delta \ge 0$) - oba ujemne.

Przykład: $x^2+x-6=0$. Iloczyn $-6<0$, więc jedno rozwiązanie jest dodatnie, a drugie ujemne. Rzeczywiście: $-3$ i $2$.

Równanie z danych rozwiązań

Wzory działają też w drugą stronę. Jeśli rozwiązania to $2$ i $-5$, to suma $-3$, iloczyn $-10$, a równanie z $a=1$ ma postać:

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=0$, czyli $x^2+3x-10=0$.

To samo daje postać iloczynowa: $(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$.

Pułapka: równanie nie w postaci ogólnej

Zanim odczytasz $a$, $b$ i $c$, przenieś wszystko na jedną stronę. Równanie $3x^2=5x+2$ to $3x^2-5x-2=0$. Suma rozwiązań to $\frac{5}{3}$, a iloczyn $-\frac{2}{3}$. Rozwiązania: $2$ i $-\frac{1}{3}$. Jak sprawnie liczyć deltę, pokazujemy we wpisie jak obliczyć deltę krok po kroku.

Zadanie CKE: matura rozszerzona, czerwiec 2024, zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(3-m)x^2+(m+1)x-(m+1{)}^2=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1^2+x_2^2=x_1{x}_2+7$. Zadanie za 6 punktów.

Etap 1. Warunki. Równanie ma być kwadratowe, więc $3-m\ne 0$. Dwa różne rozwiązania, więc $\Delta >0$:

$\Delta =(m+1{)}^2+4(3-m)(m+1{)}^2=(m+1{)}^2(13-4m)>0$, stąd $m\in (-\infty ,-1)\cup \left(-1,\frac{13}{4}\right)$.

Etap 2. Wzory Viète'a. Zapisujesz warunek jako $(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=x_1{x}_2+7$ i podstawiasz $x_1+x_2=-\frac{m+1}{3-m}$, $x_1{x}_2=-\frac{(m+1{)}^2}{3-m}$. Po przekształceniach dostajesz równanie $3m^3+3m^2-59m+53=0$, czyli $(m-1)(3m^2+6m-53)=0$. Rozwiązania: $m=1$, $m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}$, $m=\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}$.

Etap 3. Odsiew. Liczba $\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3,32$ jest większa od $\frac{13}{4}$, więc nie spełnia warunku delty. Dla niej równanie nie ma w ogóle rozwiązań rzeczywistych, choć „wzory Viète'a się zgadzają”. Odpowiedź: $m=1$ lub $m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}$.

Z zasad oceniania CKE: etap 1 to 1 punkt, etap 2 to 4 punkty, etap 3 to 1 punkt. Jeśli zamiast $\Delta >0$ napiszesz $\Delta \ge 0$, za pierwszy etap dostajesz 0 punktów. Zadania z parametrem i wzorami Viète'a pojawiają się w kluczach CKE do matury rozszerzonej co roku, także w maju 2023, 2024, 2025 i 2026 r.

A na maturze podstawowej?

Na poziomie podstawowym nie ma wymagania „wzory Viète'a”, więc zadania nie są pod nie układane. Pytania o sumę rozwiązań dotyczą zwykle równań w postaci iloczynowej. Przykład z maja 2026 r. (zadanie 8): suma rozwiązań równania $3(x+3)(x-m)(2x+4)=0$ jest równa $0$. Rozwiązania to $-3$, $m$ i $-2$, więc $m-5=0$ i $m=5$ (w wersji A arkusza odpowiedź C). To równanie trzeciego stopnia, wzory Viète'a dla równania kwadratowego tu nie pasują.

Wzory z karty możesz jednak wykorzystać do szybkiego sprawdzenia: po policzeniu rozwiązań z delty porównaj ich sumę z $-\frac{b}{a}$.

Najczęstsze błędy

1. Brak minusa w sumie: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
2. Korzystanie ze wzorów bez sprawdzenia delty.
3. $\Delta \ge 0$ zamiast $\Delta >0$, gdy zadanie mówi o dwóch różnych rozwiązaniach.
4. Odczytanie $a$, $b$, $c$ z równania, które nie jest w postaci $a{x}^2+bx+c=0$.
5. $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2$ - zapomniane $-2x_1{x}_2$.

Szybki test

1. Dla $x^2-5x+3=0$ podaj sumę i iloczyn rozwiązań.
2. Dla tego samego równania oblicz $x_1^2+x_2^2$.
3. Czy można użyć wzorów Viète'a dla $x^2+x+1=0$?

Odpowiedzi: 1. $\Delta =13>0$, suma $5$, iloczyn $3$. 2. $25-6=19$. 3. Nie, $\Delta =-3<0$, brak rozwiązań rzeczywistych.

Wzory Viète'a to część pracy z funkcją kwadratową. Przyda się też postać kanoniczna funkcji kwadratowej, a pełną listę wzorów z broszury CKE omawiamy we wpisie karta wzorów na maturze. Zadania CKE znajdziesz w działach równania i nierówności i funkcja kwadratowa, a codzienne porcje zadań w treningu na zdaje.com.