Przejdź do treści

Matura z matematyki · poziom podstawowy

Funkcja wykładnicza i inne funkcje

Funkcja wykładnicza f(x)=axf(x) = a^x (dla a>0,a > 0\text{,} a≠1a \ne 1) przyjmuje tylko wartości dodatnie, a jej wykres przechodzi przez punkt (0,1).(0, 1)\text{.} Dla a>1a > 1 jest rosnąca, dla 0<a<10 < a < 1 - malejąca. Przesunięcie wykresu w dół o kk zmienia zbiór wartości na (−k,+∞).(-k, +\infty)\text{.}

Proporcjonalność odwrotna f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} jest określona dla x≠0,x \ne 0\text{,} a jej wykres to hiperbola. Iloczyn współrzędnych każdego punktu wykresu jest stały i równy aa - to wystarcza do wyznaczenia aa z jednego punktu.

W funkcjach wymiernych (iloraz wielomianów) zaczynamy od dziedziny, a w wielomianowych szukamy miejsc zerowych, rozkładając wielomian na czynniki. Czynnik bez pierwiastków rzeczywistych, np. x2+5,x^2 + 5\text{,} nie daje miejsca zerowego.

Najważniejsze wzory

  • Funkcja wykładnicza

    f(x)=ax,a>0, a≠1,f(0)=1f(x) = a^x, \quad a > 0,\ a \ne 1, \quad f(0) = 1

  • Proporcjonalność odwrotna

    f(x)=ax,x≠0,x⋅f(x)=af(x) = \frac{a}{x}, \quad x \ne 0, \quad x \cdot f(x) = a

  • Przesunięcie wykresu

    g(x)=f(x−p)+qg(x) = f(x - p) + q

Na maturze korzystasz z tablic CKE „Wybrane wzory matematyczne” - warto wiedzieć, gdzie w nich szukać.

Przykład z rozwiązaniem

Dana jest funkcja g(x)=2x−8.g(x) = 2^x - 8\text{.} Wyznacz jej miejsce zerowe, g(0)g(0) i zbiór wartości.
  1. Miejsce zerowe: 2x=8=23,2^x = 8 = 2^3\text{,} więc x=3.x = 3\text{.}
  2. g(0)=20−8=1−8=−7.g(0) = 2^0 - 8 = 1 - 8 = -7\text{.}
  3. Funkcja 2x2^x przyjmuje wszystkie wartości dodatnie, więc 2x−82^x - 8 przyjmuje wartości większe od −8.-8\text{.}

Odpowiedź: x=3,x = 3\text{,} g(0)=−7,g(0) = -7\text{,} zbiór wartości (−8,+∞).(-8, +\infty)\text{.}

Przykład przygotowany przez zdaje.com (nie pochodzi z arkusza CKE).

Zadania CKE: Funkcja wykładnicza i inne funkcje

Zadania z dawnych arkuszy maturalnych CKE (poziom podstawowy). Odpowiedź odsłonisz kliknięciem.

Zadanie 1 · 1 pkt

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=4x−4f(x)=\frac{4}{x}-4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠0.x\neq 0\text{.} Liczba f(2)−f(−2)f(2)-f(-2) jest równa
  • A.(−8) (-8)
  • B.(−4) (-4)
  • C.4 4
  • D.0 0
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C (4 4 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2022, zad. 10

Zadanie 2 · 1 pkt

Do wykresu funkcji ff określonej dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem f(x)=3x−2f(x)=3^x-2 należy punkt o współrzędnych
  • A.(−1,−5) (-1,-5)
  • B.(0,−2) (0,-2)
  • C.(0,−1) (0,-1)
  • D.(2,4) (2,4)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: C ((0,−1) (0,-1) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2021, zad. 11

Zadanie 3 · 1 pkt

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=4−x+1f(x)=4^{-x}+1 dla każdej liczby rzeczywistej x.x\text{.} Liczba f(12)f\left(\frac{1}{2}\right) jest równa
  • A.12 \frac{1}{2}
  • B.32 \frac{3}{2}
  • C.3 3
  • D.17 17
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (32 \frac{3}{2} )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2020, zad. 12

Zadanie 4 · 1 pkt

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)=(12)xf(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} dla wszystkich liczb rzeczywistych x.x\text{.} Funkcja ff dla argumentu x=−3x=-3 przyjmuje wartość
  • A.16 \frac{1}{6}
  • B.18 \frac{1}{8}
  • C.6 6
  • D.8 8
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (8 8 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2020, zad. 19

Zadanie 5 · 2 pkt

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem f(x)=axf(x)=a^x (gdzie a>0a>0 i a≠1a \neq 1), należy punkt P=(2,9).P=(2,9)\text{.} Oblicz aa i zapisz zbiór wartości funkcji g,g\text{,} określonej wzorem g(x)=f(x)−2.g(x)=f(x)-2\text{.}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: g(x)=3x−2,g(x)=3^x-2\text{,} \, ZWg=(−2,+∞)ZW_{g}=(-2, +\infty)

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2018, zad. 30

Zadanie 6 · 1 pkt

Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y=−2x−2y=-2^{x-2} należy punkt:
  • A.A=(1,−2) A=(1,-2)
  • B.B=(2,−1) B=(2,-1)
  • C.C=(1,12) C=(1,\frac{1}{2})
  • D.D=(4,4) D=(4,4)
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: B (B=(2,−1) B=(2,-1) )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura maj 2014, zad. 22

Zadanie 7 · 2 pkt

Funkcja ff jest określona wzorem:
f(x)=2x−bx−9f(x) = \frac{2x-b}{x-9}

dla x≠9,x \neq 9\text{,} a f(14)=5.f(14)=5\text{.} Oblicz współczynnik b.b\text{.}
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: b=3b=3

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura czerwiec 2011, zad. 24

Zadanie 8 · 1 pkt

Do wykresu funkcji f(x)=axf(x)= \frac{a}{x} dla x≠0x \neq 0 należy punkt A=(2,6).A = (2,6)\text{.} Wtedy:
  • A.a=2 a=2
  • B.a=6 a=6
  • C.a=8 a=8
  • D.a=12 a=12
Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: D (a=12 a=12 )

Rozwiąż w zdaje.com - sprawdzimy Twoją odpowiedź i pomożemy krok po kroku.

Źródło: CKE, matura sierpień 2010, zad. 13

Rozwiąż kolejne zadania z funkcji wykładniczej i wymiernej

Trening zdaje.com sprawdza odpowiedź od razu i podpowiada, gdy utkniesz.

Rozwiąż kolejne zadania z funkcji wykładniczej i wymiernej

Powiązane działy

Na blogu

Wszystkie działy · Arkusze CKE