Funkcja wykładnicza na maturze 2027 - czy jest i jakie zadania

Funkcja wykładnicza ma wzór $f(x)=a^x$, gdzie podstawa $a>0$ i $a\ne 1$. Zmienna stoi w wykładniku, a nie w podstawie. Tym różni się od funkcji kwadratowej $x^2$.

Porównaj wartości dla $a=2$ i $a=\frac{1}{2}$:

Potęgi o wykładniku ujemnym liczysz tak: $2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$. Jeśli to sprawia kłopot, wróć do działu potęgi i pierwiastki.

Wykres i własności - co musisz umieć odczytać

• Wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, bo $a^0=1$.
• Wszystkie wartości są dodatnie. Wykres leży nad osią $Ox$ i nigdy jej nie przecina, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.
• Dla $a>1$ funkcja jest rosnąca (np. $2^x$), dla $0<a<1$ - malejąca (np. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$).
• Z jednej strony wykres coraz bardziej zbliża się do osi $Ox$, a z drugiej rośnie coraz szybciej.

W zadaniach praktycznych wzór ma zwykle postać $N(t)=N_0\cdot a^{\text{cosˊ}\cdot t}$. Wtedy $N(0)=N_0$, czyli wykres startuje z wartości początkowej, a nie z $1$. Jeśli $a<1$, wielkość maleje (rozpad, ubywanie leku). Jeśli $a>1$, rośnie (bakterie, lokata).

Zadanie z informatora CKE: rozpad promieniotwórczy

Liczba jąder izotopu po czasie $t$ to $N(t)=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, gdzie $T$ to czas połowicznego rozpadu, a $N_0$ to liczba jąder na początku.

Zadanie 33.1 (1 punkt). Trzeba wskazać wykres $N(t)$ spośród czterech rysunków. Dobry wykres:

• zaczyna się w punkcie $(0,N_0)$,
• przechodzi przez punkt $(T,\frac{N_0}{2})$, bo ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$,
• jest malejący i zbliża się do osi $Ot$, ale jej nie dotyka.

Ostatni punkt odróżnia go od prostej - linia prosta w pewnym momencie spadłaby do zera, a wykładnicza nie.

Zadanie 33.2 (3 punkty). Czas połowicznego rozpadu węgla ${}^{14}C$ to około 5700 lat. W znalezisku zostało $\frac{1}{16}$ początkowej masy izotopu. Ile lat ma znalezisko (z dokładnością do stu lat)?

$\frac{1}{16}{m}_0=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5700}}$

Dzielisz przez $m_0$ i zauważasz, że $\frac{1}{16}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$. Wykładniki muszą być równe: $\frac{t}{5700}=4$, więc $t=22800$ lat.

Według zasad oceniania z informatora: 1 punkt za poprawne równanie, 2 punkty za doprowadzenie do $\frac{t}{T}=4$, 3 punkty za wynik. Można też rozumować bez wzoru: po każdych 5700 latach masa spada o połowę, a $\frac{1}{16}$ to cztery takie połowienia.

Zadanie CKE: matura, czerwiec 2023, zadanie 15

Masa leku w organizmie zmienia się według wzoru $m(t)=m_0\cdot (0,6{)}^{0,25t}$, gdzie $m_0$ to dawka w mg, a $t$ to czas w godzinach.

15.1 (1 punkt). Chory przyjął 200 mg. Ile leku zostanie po 12 godzinach?

$m(12)=200\cdot (0,6{)}^{0,25\cdot 12}=200\cdot (0,6{)}^3=200\cdot 0,216=43,2$ mg.

Najpierw policz wykładnik ($0,25\cdot 12=3$), dopiero potem potęgę. Taką potęgę policzysz nawet na kalkulatorze prostym: $0,6^3=0,6\cdot 0,6\cdot 0,6$. Więcej o tym, co wolno na egzaminie, w tekście kalkulator prosty na maturze.

15.2 (1 punkt). Liczby $m(2,5)$, $m(4,5)$, $m(6,5)$ tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz.

$q=\frac{m(4,5)}{m(2,5)}=\frac{m_0\cdot (0,6{)}^{0,25\cdot 4,5}}{m_0\cdot (0,6{)}^{0,25\cdot 2,5}}=(0,6{)}^{0,25\cdot 2}=(0,6{)}^{0,5}=\sqrt{\frac{3}{5}}$.

Tu przydaje się prawo działań na potęgach: przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujesz wykładniki. To dobry przykład, jak funkcja wykładnicza łączy się z ciągiem geometrycznym: wartości w równych odstępach czasu tworzą ciąg geometryczny.

Przykład: rosnąca liczba bakterii

Liczba bakterii w próbce rośnie według wzoru $N(t)=500\cdot 2^{\frac{t}{3}}$, gdzie $t$ to czas w godzinach.

• Na początku: $N(0)=500\cdot 2^0=500$.
• Po 12 godzinach: $N(12)=500\cdot 2^4=8000$.
• Kiedy bakterii będzie $32000$? $500\cdot 2^{\frac{t}{3}}=32000$, czyli $2^{\frac{t}{3}}=64=2^6$. Stąd $\frac{t}{3}=6$ i $t=18$ godzin.

Z wzoru widać też, że liczba bakterii podwaja się co 3 godziny - tyle wynosi mianownik w wykładniku.

Wzór funkcji z punktu na wykresie

Wykres funkcji $f(x)=a^x$ przechodzi przez punkt $(2,9)$. Podstawiasz współrzędne: $a^2=9$. Podstawa musi być dodatnia, więc $a=3$ (wynik $-3$ odpada). Teraz możesz policzyć dowolną wartość, np. $f(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3}$.

Gdy wzór ma postać $g(x)=b\cdot a^x$, potrzebujesz dwóch punktów. Jeśli wykres przechodzi przez $(0,5)$ i $(1,15)$, to z pierwszego punktu $b=5$, a z drugiego $5a=15$, czyli $a=3$. Wzór: $g(x)=5\cdot 3^x$. Zauważ, że $g(0)=b$ - to ta sama zasada co $N(0)=N_0$ w zadaniach praktycznych.

Gdzie jeszcze spotkasz funkcję wykładniczą

Lokaty. Wzór na procent składany $K_n=K_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$ z karty wzorów to też zależność wykładnicza: liczba lat stoi w wykładniku. Omawiamy go we wpisie procent składany.

Logarytmy. Gdy wykładnika nie da się „zobaczyć”, np. $2^x=10$, z pomocą przychodzi logarytm: $x={\log }_{2}10$. W informatorze jest zadanie, w którym na wykresie podano $\log K(t)$ dla liczby bakterii - trzeba umieć przejść od logarytmu do potęgi. Podstawy logarytmów są we wpisie jak szybko opanować logarytmy.

Najczęstsze błędy

1. Mylenie $2^x$ z $x^2$. Dla $x=3$: $2^3=8$, a $3^2=9$.
2. Szukanie miejsca zerowego funkcji wykładniczej - nie ma go, wartości są zawsze dodatnie.
3. Zła kolejność działań: najpierw wykładnik, potem potęga, na końcu mnożenie przez $N_0$.
4. Zapominanie, że $N(0)=N_0$, a nie $0$.
5. Rysowanie wykresu, który przecina oś $Ox$.

Szybki test

1. Czy funkcja $f(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ jest rosnąca czy malejąca?
2. Dla $N(t)=800\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5}}$ oblicz $N(10)$.
3. Po jakim czasie z 800 zostanie 50?

Odpowiedzi: 1. Malejąca, bo $0<\frac{1}{3}<1$. 2. $800\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=200$. 3. $\frac{50}{800}=\frac{1}{16}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$, więc $\frac{t}{5}=4$ i $t=20$.

Zakres całej matury podstawowej, terminy i zasady znajdziesz w tekście matura z matematyki 2027. Zadania z tego działu są w dziale funkcja wykładnicza i wymierna i logarytmy, a codzienne porcje zadań w treningu na zdaje.com.