Procent składany - wzór z karty, lokaty i zadania maturalne

Procent składany to „odsetki od odsetek”. Po każdym roku bank dolicza $p\%$ od aktualnej kwoty, a nie od wpłaconej na początku. Dopisanie $p\%$ to pomnożenie przez $1+\frac{p}{100}$:

• po 1 roku: $K_1=K_0\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)$,
• po 2 latach: $K_2=K_1\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)=K_0\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2$,
• po $n$ latach: $n$ takich mnożeń.

Kolejne kwoty $K_0,K_1,K_2,\dots$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q=1+\frac{p}{100}$. Dlatego wzór stoi w karcie właśnie w dziale „Ciągi”.

Procent składany a procent prosty

Lokata $10000$ zł na 2 lata, $6\%$ rocznie.

W drugim roku procent składany liczy $6\%$ od $10600$ zł, czyli $636$ zł. Różnica to $36$ zł - właśnie „odsetki od odsetek”.

Matura, maj 2026, zadanie 2

Klient wpłacił $10000$ zł na lokatę dwuletnią z odsetkami $6\%$ doliczanymi po każdym roku, zgodnie z procentem składanym. Ile wynosi łączna wartość doliczonych odsetek (bez podatków)?

$K_2=10000\cdot 1,06^2=10000\cdot 1,1236=11236$ zł. Odsetki: $11236-10000=1236$ zł (w wersji A arkusza odpowiedź B). Wśród odpowiedzi było też $1200$ zł - to wynik dla procentu prostego, czyli typowa pułapka.

Więcej zadań CKE z lokatą

Matura, czerwiec 2023, zadanie 4

$30000$ zł na 2 lata, $7\%$ rocznie od bieżącego kapitału. Łączne odsetki:

$30000\cdot 1,07^2=30000\cdot 1,1449=34347$ zł, więc odsetki to $4347$ zł. Odpowiedź D. Wśród błędnych odpowiedzi było $2100$ zł (odsetki tylko za rok) i $4200$ zł (procent prosty).

Matura, czerwiec 2024, zadanie 4

Kwota $K_0$ na 3 lata, $6\%$ rocznie, procent składany. Kwota na lokacie po 3 latach to $K_0\cdot (1,06{)}^3$. Odpowiedź A. Pułapki: $K_0\cdot 1,18$ (trzy razy po $6\%$ dodane, a nie składane) oraz potęgi z innym oprocentowaniem.

Informator CKE, zadanie 9

Lokata $3\%$ w skali roku (już po podatkach), odsetki doliczane co roku. O ile procent po 10 latach kwota będzie większa od wpłaconej (w zaokrągleniu do $1\%$)?

$1,03^{10}\approx 1,3439$, czyli kwota wzrośnie o około $34\%$. Odpowiedź B. Kapitał początkowy nie jest potrzebny - wystarczy policzyć, ile razy wzrośnie kwota. Na kalkulatorze prostym mnożysz $1,03$ przez siebie dziesięć razy. Zwykły procent prosty dałby $30\%$, i ta odpowiedź też była w zadaniu.

Zadania „od końca”

Ile wpłacić? Chcesz mieć $10000$ zł po 2 latach przy $5\%$ rocznie:

$K_0=\frac{10000}{1,05^2}=\frac{10000}{1,1025}\approx 9070,29$ zł.

Jakie oprocentowanie? Z $5000$ zł po 2 latach zrobiło się $5408$ zł. Wtedy ${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=\frac{5408}{5000}=1,0816$, a $\sqrt{1,0816}=1,04$. Zatem $p=4\%$.

Kapitalizacja częstsza niż raz w roku

Wzór z karty dotyczy kapitalizacji rocznej. Gdy bank dolicza odsetki częściej, stosujesz ten sam schemat, tylko liczony na okresy: oprocentowanie roczne dzielisz przez liczbę kapitalizacji w roku, a liczbę lat mnożysz przez tę liczbę.

Lokata $10000$ zł na rok, $6\%$ w skali roku:

Im częstsza kapitalizacja, tym trochę więcej odsetek. W prawdziwym banku wynik może się różnić o grosze, bo bank zaokrągla kwotę przy każdym doliczeniu odsetek. Na maturze zadanie zawsze podaje, jak często doliczane są odsetki - czytaj treść uważnie.

Koszt kredytu - ten sam wzór

Od matury 2025 wymaganie I.8 mówi wprost także o kosztach kredytów (w latach 2023 i 2024 było tylko o procencie składanym z kapitalizacją roczną i zyskach z lokat). Mechanizm jest ten sam, tylko rośnie dług zamiast oszczędności. W najprostszym modelu, bez spłacania rat: pożyczka $2000$ zł, odsetki $10\%$ rocznie doliczane do długu po każdym roku. Po 3 latach dług wynosi $2000\cdot 1,1^3=2662$ zł, więc koszt kredytu to $662$ zł. Prawdziwe kredyty mają raty i opłaty, ale w zadaniu zawsze dostaniesz opis, jak liczyć.

A podatek?

Od odsetek z lokaty w polskim banku pobierany jest podatek od zysków kapitałowych, tzw. podatek Belki: $19\%$ od odsetek (nie od całej kwoty). Bank sam go potrąca i odprowadza. Przykład: $600$ zł odsetek to $114$ zł podatku, czyli $486$ zł na rękę.

W zadaniach maturalnych CKE zwykle wprost to rozstrzyga: „bez uwzględniania podatków” albo „oprocentowanie po uwzględnieniu podatków”. Wtedy podatku nie liczysz osobno.

Najczęstsze błędy

1. Procent prosty zamiast składanego: $K_0\cdot (1+n\cdot \frac{p}{100})$ zamiast potęgi.
2. Pomylenie kwoty końcowej z odsetkami - przy pytaniu o odsetki odejmij $K_0$.
3. Wpisanie $p$ zamiast $\frac{p}{100}$: $1+6$ zamiast $1,06$.
4. Przy kapitalizacji kwartalnej podzielenie oprocentowania przez 4, ale zostawienie $n$ w latach.
5. Zaokrąglanie w trakcie rachunku - zaokrąglaj dopiero wynik.

Szybki test

1. $2000$ zł na 2 lata, $5\%$ rocznie, kapitalizacja roczna. Ile będzie na lokacie?
2. Ile wyniosą odsetki z lokaty $8000$ zł na 2 lata przy $4\%$ rocznie?
3. Zapisz wzór na kwotę po 4 latach przy $2\%$ rocznie dla kapitału $K_0$.

Odpowiedzi: 1. $2000\cdot 1,1025=2205$ zł. 2. $8000\cdot 1,0816=8652,80$ zł, odsetki $652,80$ zł. 3. $K_4=K_0\cdot 1,02^4$.

Procent składany wymaga sprawnego liczenia procentów - podstawy są we wpisie jak obliczyć procent z liczby. Ten sam typ wzoru opisuje funkcja wykładnicza, a pełną listę wzorów z broszury CKE omawiamy w tekście karta wzorów na maturze. Zadania CKE są w działach procenty i ciągi, a codzienne porcje zadań w treningu na zdaje.com.