Średnia, mediana i dominanta - wzory i zadania maturalne

Wzór z karty wzorów CKE:

$\bar{a}=\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}$

Przykład: średnia liczb $4,7,7,10$ to $\frac{28}{4}=7$.

Najbardziej przydatny trik na maturze: suma = średnia × liczba danych. Dzięki niemu rozwiążesz zadania, w których nie znasz wszystkich liczb.

Matura, maj 2025, zadanie 29

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $1,2,3,4,5,x,y$ jest równa $3$. Suma $x+y$ jest równa: A. $4$, B. $5$, C. $6$, D. $7$.

Suma wszystkich siedmiu liczb to $7\cdot 3=21$. Znane liczby dają $1+2+3+4+5=15$. Zatem $x+y=21-15=6$. Odpowiedź C.

Matura, czerwiec 2025, zadanie 29

Średnia liczb $a,b,c$ jest równa $12$. Ile wynosi średnia sześciu liczb $2a,3a,2b,3b,2c,3c$?

$a+b+c=3\cdot 12=36$. Suma sześciu liczb to $5a+5b+5c=5\cdot 36=180$, a średnia $\frac{180}{6}=30$. Odpowiedź C.

Podobne zadanie było w maju 2024 r. (zadanie 28): średnia $a,b,c$ równa $9$, a pytanie o średnią liczb $a,a,b,b,c,c$. Suma się podwaja, liczba danych też, więc średnia zostaje równa $9$.

Dopisanie liczby do zestawu. Średnia czterech liczb to $6$. Dopisujemy liczbę $11$. Nowa średnia: $\frac{4\cdot 6+11}{5}=\frac{35}{5}=7$.

Średnia ważona

Gdy dane mają różne „wagi”, każdą mnożysz przez jej wagę i dzielisz przez sumę wag:

$\bar{s}=\frac{a_1{w}_1+a_2{w}_2+\dots +a_n{w}_n}{w_1+w_2+\dots +w_n}$

Przykład: oceny $5$ i $4$ ze sprawdzianów (waga 2) oraz $3$ z kartkówki (waga 1).

$\bar{s}=\frac{5\cdot 2+4\cdot 2+3\cdot 1}{2+2+1}=\frac{21}{5}=4,2$

Zwykła średnia tych trzech ocen to $4$. Waga sprawdzianów podciągnęła wynik w górę.

Średnia z tabeli liczebności to też średnia ważona - wagą jest liczba osób z danym wynikiem. Pokazujemy to niżej.

Mediana

Najpierw ustaw dane rosnąco. Potem:

• przy nieparzystej liczbie danych mediana to wyraz środkowy,
• przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów.

Tak samo definiuje ją karta wzorów CKE.

Przykład nieparzysty: $7,3,9,4,8$. Po uporządkowaniu: $3,4,7,8,9$. Mediana to $7$.

Przykład parzysty: $12,5,8,10,3,15$. Po uporządkowaniu: $3,5,8,10,12,15$. Środkowe wyrazy to $8$ i $10$, więc mediana to $\frac{8+10}{2}=9$.

Mediana nie musi być jedną z danych - w drugim przykładzie żadna liczba nie jest równa $9$.

Dominanta

Dominanta (moda) to wartość, która występuje najczęściej. Dla danych $2,3,3,5,3,7$ dominanta to $3$.

Dwa szczególne przypadki:

• jeśli kilka wartości występuje tak samo często i najczęściej, każda z nich jest dominantą: dla $2,3,3,5,5,7$ dominanty to $3$ i $5$,
• jeśli każda wartość występuje tyle samo razy, zestaw nie ma dominanty.

Pułapka: dominanta to wartość, a nie liczba jej wystąpień. Jeśli ocenę $4$ dostało 9 osób i to najwięcej, dominanta to $4$, a nie $9$. W informatorze CKE jest zadanie, w którym odpowiedzi kuszą właśnie takimi błędami: „ta wartość jest największa” albo „iloczyn wartości i liczby osób jest największy”. Dobre uzasadnienie to: „tę wartość osiąga najwięcej osób”.

Średnia, mediana i dominanta z tabeli

Wyniki 20 uczniów za zadanie za 0-4 punkty:

Średnia: $\frac{0\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 4}{20}=\frac{47}{20}=2,35$. Dzielisz przez liczbę uczniów (20), a nie przez liczbę kolumn (5).

Mediana: uczniów jest 20, więc potrzebujesz 10. i 11. wyniku. Licz od lewej: wyniki 0 to pozycje 1-2, wyniki 1 to pozycje 3-5, wyniki 2 to pozycje 6-10, wyniki 3 to pozycje 11-16. Dziesiąty wynik to $2$, jedenasty to $3$, więc mediana to $\frac{2+3}{2}=2,5$.

Dominanta: najwięcej uczniów (6) ma 3 punkty, więc dominanta to $3$.

Na diagramie słupkowym postępujesz tak samo - wysokość słupka to liczba osób. Tak wyglądało zadanie 30 z maja 2025 r. (diagram ocen 24 uczniów, mediana i dominanta za 2 punkty). CKE nie akceptowała w nim zaokrągleń.

Kiedy średnia, a kiedy mediana

Średnia jest wrażliwa na skrajne wartości, mediana - nie. Przykład: w małej firmie cztery osoby zarabiają po 5000 zł, a właściciel 25 000 zł.

• średnia: $\frac{4\cdot 5000+25000}{5}=9000$ zł,
• mediana: $5000$ zł.

Średnia sugeruje, że „typowa” pensja to 9000 zł, choć nikt poza właścicielem tyle nie zarabia. Dlatego np. przy zarobkach często podaje się medianę.

A odchylenie standardowe?

W karcie wzorów CKE nadal są wzory na wariancję i odchylenie standardowe. W obecnej podstawie programowej dla poziomu podstawowego ich jednak nie ma - zniknęły z wymagań od roku szkolnego 2024/2025. W arkuszach z 2023 i 2024 r. możesz trafić na zadania z odchyleniem, ale na maturze 2027 wymagane są średnie, mediana i dominanta.

Dla ciekawości: dla danych $2,4,4,4,5,5,7,9$ średnia to $5$, wariancja $\frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8}=4$, a odchylenie standardowe $\sqrt{4}=2$.

Najczęstsze błędy

1. Mediana z nieuporządkowanych danych. Zawsze najpierw sortuj.
2. Dominanta = liczba wystąpień. Dominanta to sama wartość.
3. Średnia z tabeli dzielona przez liczbę kolumn zamiast przez liczbę osób.
4. Zaokrąglanie, gdy zadanie tego nie przewiduje - podawaj wynik dokładny, np. $2,35$.
5. Pominięcie powtórzeń. Jeśli liczba występuje trzy razy, liczysz ją trzy razy.

Szybki test

1. Podaj medianę i dominantę danych: $6,2,8,2,5,9$.
2. Średnia pięciu liczb jest równa $8$. Jedną z nich, równą $12$, usunięto. Ile wynosi średnia pozostałych?
3. Oblicz średnią ważoną ocen $6$ (waga 3) i $3$ (waga 1).

Odpowiedzi: 1. Po uporządkowaniu $2,2,5,6,8,9$: mediana $\frac{5+6}{2}=5,5$, dominanta $2$. 2. Suma $40$, po usunięciu $28$, średnia $\frac{28}{4}=7$. 3. $\frac{18+3}{4}=5,25$.

Statystyka sąsiaduje na maturze z prawdopodobieństwem - zobacz jak liczyć prawdopodobieństwo. Wzory na średnie i medianę znajdziesz też w karcie wzorów, a w zadaniach z danymi procentowymi przyda się tekst jak obliczyć procent z liczby. Zadania CKE z tego działu są w dziale statystyka, a codzienne porcje zadań w treningu na zdaje.com. Jeśli zadanie z danymi wymaga zapisania wyniku przedziałem, przyda się wpis przedziały liczbowe.