Twierdzenie Talesa - czy jest w karcie wzorów, przykłady, zadania

Treść z karty w skrócie: różne proste $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$, przy czym:

• punkt $A$ leży wewnątrz odcinka $PB$ i punkt $C$ leży wewnątrz odcinka $PD$,
• lub punkt $A$ leży na zewnątrz odcinka $PB$ i punkt $C$ leży na zewnątrz odcinka $PD$.

Wtedy:

• twierdzenie Talesa: jeżeli proste $AC$ i $BD$ są równoległe, to $\frac{|AB|}{|PA|}=\frac{|CD|}{|PC|}$,
• twierdzenie odwrotne: jeżeli $\frac{|AB|}{|PA|}=\frac{|CD|}{|PC|}$, to proste $AC$ i $BD$ są równoległe.

Warunek z położeniem punktów pilnuje, żeby odcinki były „odpowiadające sobie”. W praktyce spotkasz dwa rysunki.

Układ V: dwie proste równoległe przecinają ramiona kąta

Punkt $P$ to wierzchołek kąta. Na jednym ramieniu leżą $A$ i $B$, na drugim $C$ i $D$, a $AC\parallel BD$. Bliższe wierzchołkowi są $A$ i $C$.

Proporcje, które możesz zapisać:

• $\frac{|PA|}{|AB|}=\frac{|PC|}{|CD|}$ (krótki odcinek do dalszego kawałka),
• $\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{|PC|}{|PD|}$ (krótki odcinek do całego ramienia).

Przykład. $|PA|=4$, $|AB|=6$, $|PC|=5$. Oblicz $|CD|$.

Z karty: $\frac{|AB|}{|PA|}=\frac{|CD|}{|PC|}$, czyli $\frac{6}{4}=\frac{|CD|}{5}$. Mnożysz na krzyż: $4\cdot |CD|=30$, więc $|CD|=7,5$.

Zasada: w obu ułamkach odcinki z tego samego ramienia stoją w tym samym miejscu (licznik z licznikiem, mianownik z mianownikiem).

Układ X: proste równoległe po dwóch stronach punktu przecięcia

Teraz $P$ leży między punktami: $A$ i $B$ są po przeciwnych stronach $P$, tak samo $C$ i $D$, a $AC\parallel BD$. Rysunek wygląda jak klepsydra. Trójkąty $PAC$ i $PBD$ są podobne, więc:

$\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{|PC|}{|PD|}$.

Matura, maj 2026, zadanie 20

Proste $k$ i $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina $k$ i $l$ w punktach $A$ i $C$, a prosta $n$ - w punktach $D$ i $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Dane: $|OA|=12$, $|OB|=6$, $|OC|=8$. Ile wynosi $|OD|$?

Punkty $A$ i $D$ leżą na prostej $k$, a $C$ i $B$ na prostej $l$. Odcinki $AD$ i $CB$ są więc równoległe, a $O$ leży między nimi. Odcinki na prostej $m$ to $OA$ i $OC$, na prostej $n$ to $OD$ i $OB$:

$\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}$, czyli $\frac{12}{8}=\frac{|OD|}{6}$.

Stąd $|OD|=\frac{12\cdot 6}{8}=9$. Odpowiedź: 9 (w wersji A arkusza to odpowiedź B). W zasadach oceniania CKE to zadanie jest przypisane właśnie do wymagania „stosuje twierdzenie Talesa”.

Najważniejsze: sprawdź, które punkty leżą na tej samej prostej równoległej. Gdy wpiszesz w proporcję odcinki „na ukos”, wyjdzie zły wynik, np. $16$ albo $4$.

Kilka prostych równoległych: zadanie z informatora CKE

Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $A$. Trzy równoległe proste przecinają $k$ w punktach $B$, $C$, $D$, a $l$ w punktach $G$, $F$, $E$ (odpowiednio). Dane: $|BC|=30$, $|CD|=20$, $|GF|=21$. Oblicz $|FE|$.

Równoległe proste tną oba ramiona na odcinki w tej samej proporcji:

$\frac{|GF|}{|BC|}=\frac{|FE|}{|CD|}$, czyli $\frac{21}{30}=\frac{|FE|}{20}$.

$|FE|=\frac{21\cdot 20}{30}=14$. W informatorze to zadanie za 1 punkt.

Twierdzenie odwrotne: czy proste są równoległe?

Na ramionach kąta o wierzchołku $P$: $|PA|=3$, $|AB|=4,5$, $|PC|=4$, $|CD|=6$. Czy $AC\parallel BD$?

$\frac{|AB|}{|PA|}=\frac{4,5}{3}=1,5$ oraz $\frac{|CD|}{|PC|}=\frac{6}{4}=1,5$.

Stosunki są równe, a punkty leżą w układzie z karty, więc z twierdzenia odwrotnego proste są równoległe. Gdyby $|CD|=5$, stosunek wyniósłby $1,25$ i proste nie byłyby równoległe.

Gdy dane są całe ramiona, a nie kawałki

Często w zadaniu jest długość całego odcinka $PB$, a pytają o kawałek $CD$. Przykład: $|PA|=3$, $|PB|=7,5$, $|PC|=4$, $AC\parallel BD$.

1. Proporcja „krótki do całego”: $\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{|PC|}{|PD|}$, czyli $\frac{3}{7,5}=\frac{4}{|PD|}$, więc $|PD|=10$.
2. Kawałek to różnica: $|CD|=|PD|-|PC|=10-4=6$.

Sprawdzenie wzorem z karty: $\frac{|AB|}{|PA|}=\frac{4,5}{3}=1,5$ i $\frac{|CD|}{|PC|}=\frac{6}{4}=1,5$. Zgadza się. Zanim ułożysz proporcję, podpisz na rysunku, które odcinki znasz: całe ramiona czy tylko kawałki.

Tales w zadaniu z życia: wysokość drzewa

Człowiek o wzroście $1,8$ m rzuca cień długości $2,4$ m. W tym samym czasie cień drzewa ma $12$ m. Promienie słońca są równoległe, więc:

$\frac{1,8}{2,4}=\frac{h}{12}$, czyli $h=9$ m.

To ten sam układ co wcześniej: trójkąty człowiek-cień i drzewo-cień są podobne.

Tales a podobieństwo trójkątów

Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów to dwa spojrzenia na ten sam rysunek. W karcie wzorów są też cechy podobieństwa (bok-bok-bok, bok-kąt-bok, kąt-kąt-kąt). Uwaga na stosunek odcinków równoległych: $\frac{|AC|}{|BD|}=\frac{|PA|}{|PB|}$ wynika z podobieństwa trójkątów $PAC$ i $PBD$. Nie zapisuj za to $\frac{|AC|}{|BD|}=\frac{|PA|}{|AB|}$ - to częsty błąd.

„Twierdzenie Talesa” o kącie wpisanym

Czasem twierdzeniem Talesa nazywa się też fakt, że kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Polska Wikipedia opisuje to w osobnym haśle („twierdzenie Talesa o kącie wpisanym”). Na maturze pod nazwą „twierdzenie Talesa” chodzi o proporcje odcinków, a fakt o półokręgu też jest w karcie, przy kątach wpisanych w okrąg.

Najczęstsze błędy

1. Proporcja z odcinków z różnych ramion w liczniku i mianowniku.
2. Mylenie odcinka $PB$ (całe ramię) z $AB$ (sam dalszy kawałek).
3. W układzie X: dobieranie odcinków „na ukos” zamiast z tej samej prostej.
4. Stosowanie twierdzenia, gdy proste nie są równoległe.
5. Stosunek odcinków równoległych ułożony z niewłaściwych odcinków na ramionach.

Szybki test

1. Na ramionach kąta: $|PA|=2$, $|AB|=3$, $|PC|=4$, $AC\parallel BD$. Oblicz $|CD|$.
2. Układ X: $|PA|=5$, $|PB|=10$, $|PC|=3$, $AC\parallel BD$. Oblicz $|PD|$.
3. $|PA|=6$, $|AB|=3$, $|PC|=8$, $|CD|=5$. Czy $AC\parallel BD$?

Odpowiedzi: 1. $\frac{3}{2}=\frac{|CD|}{4}$, $|CD|=6$. 2. $\frac{5}{10}=\frac{3}{|PD|}$, $|PD|=6$. 3. $\frac{3}{6}=0,5$, a $\frac{5}{8}=0,625$, więc nie.

Inne wzory z geometrii znajdziesz we wpisach pole trójkąta prostokątnego i karta wzorów na maturze. Zadania CKE z tego działu są w dziale planimetria, a krótkie codzienne porcje zadań w treningu na zdaje.com.