Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 9 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): $\left(x-\frac{6}{5}\right)^2+\left(y+\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Ramiona to $CA$ i $CB\text{.}$ Sprawdzamy, który punkt leży na prostej $x+2y-4=0\text{:}$ dla $B\text{:}$ $4+0-4=0$ (tak), dla $A\text{:}$ $1-2-4\ne 0\text{.}$ Zatem prosta zawiera ramię $BC\text{.}$
2. $C$ leży na symetralnej odcinka $AB$ (bo $|CA|=|CB|$). Środek $AB\text{:}$ $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)\text{,}$ wektor $\overrightarrow{AB}=[3,1]\text{,}$ symetralna: $3\left(x-\frac{5}{2}\right)+\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\text{,}$ czyli $3x+y-7=0\text{.}$
3. $C$ to punkt wspólny symetralnej i prostej $x+2y-4=0\text{:}$ $y=7-3x\text{,}$ $x+14-6x=4\text{,}$ więc $x=2\text{,}$ $y=1\text{.}$ $C=(2,1)\text{.}$
4. $|AM|:|MC|=1:4\text{,}$ więc $M=A+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=(1,-1)+\frac{1}{5}[1,2]=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\text{.}$
5. Promień: $r^2=|MC|^2=\left(2-\frac{6}{5}\right)^2+\left(1+\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}+\frac{64}{25}=\frac{80}{25}=\frac{16}{5}\text{.}$

Typowe błędy

• Założenie, że prosta zawiera ramię $AC\text{,}$ bez sprawdzenia, który z punktów $A\text{,}$ $B$ na niej leży.
• Podział odcinka w złą stronę: $M=A+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$ (to punkt bliżej $C$).
• Wpisanie promienia zamiast jego kwadratu po prawej stronie równania okręgu.