Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 10 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): $m\in(1,+\infty)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Dwa różne miejsca zerowe: $\Delta=4m^2-4m^2(1-m)=4m^3>0\text{,}$ więc $m>0\text{.}$
2. Dla $m>0$ pierwiastki: $x=\frac{2m\pm 2m\sqrt{m}}{2m^2}=\frac{1\pm\sqrt{m}}{m}\text{.}$ Oznaczmy $t=\sqrt{m}>0\text{:}$ $x_1=\frac{1-t}{t^2}\text{,}$ $x_2=\frac{1+t}{t^2}\text{,}$ przy czym $x_1<x_2\text{.}$
3. Warunek $x_2<2\text{:}$ $1+t<2t^2\text{,}$ czyli $2t^2-t-1>0\text{,}$ $(2t+1)(t-1)>0\text{,}$ więc $t>1\text{,}$ czyli $m>1\text{.}$
4. Warunek $x_1>-2\text{:}$ $1-t>-2t^2\text{,}$ czyli $2t^2-t+1>0$ - prawdziwe dla każdego $t$ (wyróżnik $1-8<0$).
5. Pozostałe warunki ($x_1<2\text{,}$ $x_2>-2$) wynikają z $x_1<x_2<2$ i $-2<x_1<x_2\text{.}$
6. Część wspólna: $m>1\text{.}$

Typowe błędy

• Pominięcie warunku $\Delta>0$ albo błąd w $\Delta$ ($4m^2-4m^2(-m+1)$ liczone ze złym znakiem).
• Sprawdzenie tylko $f(-2)>0$ i $f(2)>0$ bez warunku na położenie wierzchołka - to za mało, by oba pierwiastki leżały w przedziale.
• Dzielenie przez $m$ przy upraszczaniu pierwiastków bez uwzględnienia znaku $m\text{.}$