Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 8 - rozwiązanie

Zadanie 84 pkt

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

ABCS

podstawa

ABC

jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie

ABC

jest równa

6\sqrt{2}\pi\text{,}

a cosinus kąta między krawędziami bocznymi

SB

SC

jest równy

\frac{5}{9}\text{.}

Oblicz długość krawędzi podstawy

ABC

oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi

SAC

SBC

tego ostrosłupa.

Wskazówka

Kąt między ścianami bocznymi mierzysz w trójkącie $AEB\text{,}$ gdzie $E$ to spodek wysokości z $A$ (i z $B$ ) na krawędź $SC\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): $a=3\sqrt{6}\text{,}$ $\cos\beta=\frac{5}{14}$

Rozwiązanie krok po kroku

$2\pi R=6\sqrt{2}\pi\text{,}$ więc $R=3\sqrt{2}\text{.}$ W trójkącie równobocznym $a=R\sqrt{3}=3\sqrt{6}\text{.}$
Niech $b$ - krawędź boczna. Twierdzenie cosinusów w $\triangle SBC\text{:}$ $a^2=2b^2-2b^2\cdot\frac{5}{9}=\frac{8}{9}b^2\text{,}$ więc $b^2=\frac{9}{8}\cdot 54=\frac{243}{4}\text{.}$
Kąt $\beta$ między ścianami $SAC$ i $SBC$ mierzymy przy krawędzi $SC\text{:}$ z $A$ i $B$ prowadzimy wysokości na $SC$ - z symetrii mają wspólny spodek $E$ i równą długość $h\text{.}$
$\sin\angle BSC=\sqrt{1-\frac{25}{81}}=\frac{2\sqrt{14}}{9}\text{,}$ więc $h=b\sin\angle BSC\text{,}$ $h^2=\frac{243}{4}\cdot\frac{56}{81}=42\text{.}$
Twierdzenie cosinusów w $\triangle AEB\text{:}$ $a^2=2h^2-2h^2\cos\beta\text{,}$ czyli $54=84-84\cos\beta\text{.}$
$\cos\beta=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}\text{.}$

Typowe błędy

Użycie wzoru $R=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ (promień okręgu wpisanego) zamiast $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\text{.}$
Mierzenie kąta między ścianami jako kąta między wysokościami ścian opuszczonymi na krawędzie podstawy - kąt dwuścienny mierzymy prostopadle do wspólnej krawędzi $SC\text{.}$
Ujemny cosinus przez pomylenie kąta $\beta$ z kątem przyległym.

Źródło: CKE, matura maj 2026 (poziom rozszerzony), zad. 8