Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 7 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): $x=\frac{k\pi}{2}$ lub $x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$ lub $x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\text{,}$ $k\in\mathbb{Z}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Podstawiamy $t=2x\text{.}$ Wtedy $6x=3t$ i równanie ma postać $\sin(3t)-2\sin t=0\text{.}$
2. Wzór na sinus potrojonego kąta: $\sin(3t)=3\sin t-4\sin^3 t\text{.}$ Dostajemy $3\sin t-4\sin^3t-2\sin t=0\text{,}$ czyli $\sin t\,(1-4\sin^2t)=0\text{.}$
3. $\sin t=0$ albo $\sin^2 t=\frac{1}{4}\text{,}$ czyli $\sin t=\frac{1}{2}$ lub $\sin t=-\frac{1}{2}\text{.}$
4. $\sin(2x)=0 \Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\text{.}$
5. $\sin(2x)=\pm\frac{1}{2} \Rightarrow 2x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$ (obie wartości $\pm\frac{1}{2}$ razem dają kąty $\pm\frac{\pi}{6}$ z okresem $\pi$).

Typowe błędy

• Dzielenie równania przez $\sin(2x)$ - gubi się seria $x=\frac{k\pi}{2}\text{.}$
• Przyjęcie tylko $\sin(2x)=\frac{1}{2}$ i pominięcie wartości ujemnej przy $\sin^2(2x)=\frac{1}{4}\text{.}$
• Zła okresowość po podzieleniu przez $2\text{:}$ $x=\frac{\pi}{12}+k\pi$ zamiast $+\frac{k\pi}{2}\text{.}$