Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 6 - rozwiązanie

Zadanie 64 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_n)

o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od

6\text{.}

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

1\text{,}

a ostatni wyraz tego ciągu jest równy

(-2025)\text{.}

Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(a_n)\text{.}

Wskazówka

Zapisz $a_2\text{,}$ $a_3\text{,}$ $a_6$ przez różnicę $r$ i użyj warunku $a_3^2=a_2a_6\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): $-1\,026\,168$

Rozwiązanie krok po kroku

Z wzoru $a_n=1+(n-1)r\text{:}$ $a_2=1+r\text{,}$ $a_3=1+2r\text{,}$ $a_6=1+5r\text{.}$
Warunek ciągu geometrycznego: $a_3^2=a_2\cdot a_6\text{,}$ czyli $(1+2r)^2=(1+r)(1+5r)\text{.}$
$1+4r+4r^2=1+6r+5r^2\text{,}$ więc $r^2+2r=0\text{,}$ czyli $r=0$ lub $r=-2\text{.}$
$r=0$ odpada, bo pierwszy wyraz ( $1$ ) i ostatni ( $-2025$ ) są różne. Zostaje $r=-2\text{;}$ wtedy $(a_2,a_3,a_6)=(-1,-3,-9)$ - ciąg geometryczny o ilorazie $3\text{.}$
Liczba wyrazów: $-2025=1+(n-1)\cdot(-2)\text{,}$ więc $n-1=1013$ i $n=1014>6\text{.}$
$S_{1014}=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=-1012\cdot 1014=-1\,026\,168\text{.}$

Typowe błędy

Pozostawienie rozwiązania $r=0$ bez sprawdzenia - ciąg stały nie może mieć różnych wyrazów pierwszego i ostatniego.
Błąd w liczbie wyrazów: $n=1013$ (zapomniane $+1$ ).
Warunek ciągu geometrycznego zapisany jak dla arytmetycznego: $2a_3=a_2+a_6\text{.}$

Źródło: CKE, matura maj 2026 (poziom rozszerzony), zad. 6