Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 5 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): $x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Rozkładamy wyrażenia pod wartością bezwzględną: $|2x-6|=2|x-3|\text{,}$ $|x^2-9|=|x-3|\cdot|x+3|\text{.}$
2. Nierówność przyjmuje postać $2|x-3|<|x-3|\cdot|x+3|\text{.}$
3. Dla $x=3$ obie strony są równe $0\text{,}$ a nierówność jest ostra - $x=3$ nie jest rozwiązaniem.
4. Dla $x\ne 3$ dzielimy przez $|x-3|>0\text{:}$ $|x+3|>2\text{.}$
5. $x+3>2$ lub $x+3<-2\text{,}$ czyli $x>-1$ lub $x<-5\text{.}$
6. Uwzględniamy $x\ne 3\text{:}$ $x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)\text{.}$

Typowe błędy

• Pominięcie wykluczenia $x=3$ (dla niego nierówność daje $0<0$).
• Opuszczenie wartości bezwzględnej bez rozpatrzenia przypadków, np. $2x-6<x^2-9\text{.}$
• Błąd przy $|x+3|>2\text{:}$ zapis $-2<x+3<2$ (to rozwiązanie nierówności przeciwnej).