Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 4 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): zadanie na dowód - ocenia się tok rozumowania.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Wprowadzamy układ współrzędnych: $A=(0,0)\text{,}$ $B=(a,0)\text{,}$ $C=(a,a)\text{,}$ $D=(0,a)\text{.}$ Wtedy $K=\left(\frac{a}{2},0\right)\text{,}$ $L=\left(a,\frac{a}{2}\right)\text{.}$
2. $M=(a,m)\text{.}$ Prostopadłość $DK\perp KM\text{:}$ $\overrightarrow{KD}\circ\overrightarrow{KM}=\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\frac{a}{2}+a\cdot m=0\text{,}$ więc $m=\frac{a}{4}$ i $M=\left(a,\frac{a}{4}\right)\text{.}$
3. Równania prostych: $AL:\ y=\frac{1}{2}x\text{;}$ $DK:\ y=a-2x\text{;}$ $DM:\ y=a-\frac{3}{4}x\text{.}$
4. $P=AL\cap DK\text{:}$ $\frac{1}{2}x=a-2x\text{,}$ więc $x=\frac{2a}{5}\text{,}$ $P=\left(\frac{2a}{5},\frac{a}{5}\right)\text{.}$
5. $Q=AL\cap DM\text{:}$ $\frac{1}{2}x=a-\frac{3}{4}x\text{,}$ więc $x=\frac{4a}{5}\text{,}$ $Q=\left(\frac{4a}{5},\frac{2a}{5}\right)\text{.}$
6. $|PQ|=\sqrt{\left(\frac{2a}{5}\right)^2+\left(\frac{a}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{25}}=\frac{\sqrt{5}}{5}a\text{.}$ To kończy dowód.

Typowe błędy

• Przyjęcie bez uzasadnienia, że $M$ jest środkiem odcinka $BL$ - to trzeba wyprowadzić z warunku $DK\perp KM\text{.}$
• Sprawdzenie tezy tylko dla konkretnego $a$ (np. $a=5$) - dowód musi działać dla każdego $a>0\text{.}$
• Błąd we współczynniku kierunkowym $DM\text{:}$ $M$ ma drugą współrzędną $\frac{a}{4}\text{,}$ więc spadek na długości $a$ to $\frac{3a}{4}\text{.}$