Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 3 - rozwiązanie

Zadanie 33 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\text{.}

Wskazówka

Pomnóż przez $x^2y^2$ i spróbuj rozłożyć $x^3+y^3-x^2y-xy^2$ przez grupowanie.

Odpowiedź (klucz CKE): zadanie na dowód - ocenia się tok rozumowania.

Rozwiązanie krok po kroku

Mnożymy obie strony przez $x^2y^2>0$ (znak nierówności się nie zmienia): $xy^2+x^2y\le x^3+y^3\text{.}$
Przenosimy na jedną stronę: $x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge 0\text{.}$
Grupujemy: $x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\text{.}$
$(x-y)^2\ge 0$ jako kwadrat, a $x+y>0\text{,}$ bo $x, y>0\text{.}$ Iloczyn jest więc nieujemny, czyli $x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge 0\text{.}$
Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność jest prawdziwa. Równość zachodzi dla $x=y\text{.}$ To kończy dowód.

Typowe błędy

Mnożenie przez $x^2y^2$ bez zaznaczenia, że to liczba dodatnia (inaczej nie wiadomo, czy znak nierówności się nie zmienia).
Przekształcenia „od tezy” zakończone prawdziwą nierównością bez zaznaczenia, że były równoważne.
Błąd w rozkładzie: $x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x-y)^2(x-y)\text{.}$

Źródło: CKE, matura maj 2026 (poziom rozszerzony), zad. 3