Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 2 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): $\frac{1}{28}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Zdarzenia elementarne to wszystkie ustawienia $8$ liczb: $|\Omega|=8!\text{.}$
2. Iloczyn trzech liczb dzieli się przez $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy wśród nich jest $3$ lub $6$ (jedyne wielokrotności $3$ w zbiorze).
3. Trójki kolejnych pozycji to $(1,2,3), (2,3,4),\ldots,(6,7,8)$ - jest ich $6\text{.}$ Każda musi zawierać pozycję liczby $3$ lub $6\text{.}$ Pozycje $1$-$3$ i $6$-$8$ to rozłączne trójki, więc jedna z liczb $3,6$ stoi na pozycji $\le 3\text{,}$ a druga na pozycji $\ge 6\text{.}$
4. Trójka $(2,3,4)$ wymaga pozycji z $\{2,3,4\}\text{,}$ a trójka $(5,6,7)$ pozycji z $\{5,6,7\}\text{.}$ Wraz z krokiem 3 zostaje tylko: jedna liczba na pozycji $3\text{,}$ druga na pozycji $6\text{.}$ Wtedy każda trójka zawiera pozycję $3$ lub $6\text{.}$
5. Liczby $3$ i $6$ na pozycjach $3$ i $6$ można ustawić na $2$ sposoby, pozostałe $6$ liczb na $6!$ sposobów: $|A|=2\cdot 6!\text{.}$
6. $P(A)=\frac{2\cdot 6!}{8!}=\frac{2}{7\cdot 8}=\frac{1}{28}\text{.}$

Typowe błędy

• Zliczanie ustawień, w których $3$ i $6$ są „daleko od siebie”, bez sprawdzenia wszystkich sześciu trójek - łatwo dopuścić np. pozycje $2$ i $6\text{,}$ gdzie trójka $(3,4,5)$ nie zawiera wielokrotności $3\text{.}$
• Liczenie $|\Omega|$ jako $8^8$ - losowanie jest bez zwracania.
• Podanie wyniku w postaci nieskróconej ($\frac{1440}{40320}$), choć polecenie wymaga ułamka nieskracalnego.