Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 1 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): $\frac{1}{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Symbol Newtona: $\binom{n+2}{n-1}=\binom{n+2}{3}=\frac{(n+2)!}{3!\,(n-1)!}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\text{.}$
2. Licznik to wielomian stopnia $3$ z najwyższym wyrazem $\frac{1}{6}n^3\text{;}$ mianownik ma najwyższy wyraz $\frac{1}{2}n^3\text{.}$
3. Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3\text{:}$ $\frac{\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\frac{1}{2}-\frac{4}{n^2}+\frac{7}{n^3}}\text{.}$
4. Wyrazy z $n$ w mianowniku dążą do $0\text{,}$ więc granica to $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\text{.}$

Typowe błędy

• Rozpisanie $\binom{n+2}{n-1}$ jako $\frac{(n+2)!}{(n-1)!}$ bez dzielenia przez $3!$ - wynik $2$ zamiast $\frac{1}{3}\text{.}$
• Porównanie tylko współczynników $1$ i $\frac{1}{2}$ bez uwzględnienia $\frac{1}{6}$ z symbolu Newtona.