Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 12.1 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): zadanie na dowód - ocenia się tok rozumowania.

Rozwiązanie krok po kroku

1. Koło jest wpisane w trójkąt, więc promień okręgu wpisanego $r=2\text{.}$ Niech $\beta$ - kąt przy podstawie, $h$ - wysokość opuszczona na podstawę.
2. Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta $\beta$ i na wysokości $h\text{,}$ w odległości $r=2$ od podstawy. Z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $\frac{x}{2}$ i $2\text{:}$ $\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}=\frac{2}{\frac{x}{2}}=\frac{4}{x}\text{.}$
3. Wzór na tangens podwojonego kąta: $\operatorname{tg}\beta=\frac{2\cdot\frac{4}{x}}{1-\frac{16}{x^2}}=\frac{8x}{x^2-16}$ (kąt $\beta$ jest ostry, więc $x>4$).
4. Wysokość: $h=\frac{x}{2}\operatorname{tg}\beta=\frac{4x^2}{x^2-16}\text{.}$
5. Pole: $P(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h=\frac{2x^3}{x^2-16}\text{.}$ To kończy dowód.

Typowe błędy

• Przyjęcie promienia $4$ (średnica) zamiast $2\text{.}$
• Użycie wzoru $P=r\cdot p$ bez wyrażenia ramienia przez $x$ - zostaje druga niewiadoma.
• Pominięcie warunku $x>4$ (dla $x\le 4$ taki trójkąt nie istnieje).