Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 12.2 - rozwiązanie

Zadanie 12.24 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Pole

P

trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16}

dla każdego

x\in(4,10]\text{.}

Wyznacz długość

x

podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Wskazówka

Policz $P'(x)$ ze wzoru na pochodną ilorazu i zbadaj jej znak w przedziale $(4,10]\text{.}$

Odpowiedź (klucz CKE): $x=4\sqrt{3}$ m, $P=12\sqrt{3}$ m $^2$

Rozwiązanie krok po kroku

Pochodna ilorazu: $P'(x)=\frac{6x^2(x^2-16)-2x^3\cdot 2x}{(x^2-16)^2}=\frac{2x^4-96x^2}{(x^2-16)^2}=\frac{2x^2(x^2-48)}{(x^2-16)^2}\text{.}$
W przedziale $(4,10]$ mianownik i $2x^2$ są dodatnie, więc znak $P'$ zależy od $x^2-48\text{.}$
$P'(x)=0$ dla $x=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\approx 6{,}93\in(4,10]\text{.}$
Dla $x\in(4,4\sqrt{3})\text{:}$ $P'<0$ ( $P$ maleje); dla $x\in(4\sqrt{3},10]\text{:}$ $P'>0$ ( $P$ rośnie). W $x=4\sqrt{3}$ jest minimum, i to najmniejsza wartość na całym przedziale.
$P(4\sqrt{3})=\frac{2\cdot(4\sqrt{3})^3}{48-16}=\frac{2\cdot 192\sqrt{3}}{32}=12\sqrt{3}\text{.}$

Typowe błędy

Wskazanie punktu $x=4\sqrt{3}$ bez uzasadnienia, że to minimum (badanie znaku pochodnej).
Błąd w pochodnej ilorazu: odwrócona kolejność w liczniku ( $f'g-fg'$ zamiast $fg'$ lub odwrotnie).
Uwzględnienie rozwiązania $x=-4\sqrt{3}$ lub $x=0\text{,}$ które nie należą do dziedziny.

Rozwiąż podobne w Turbo Matmie Dział: Funkcje i ich własności

Źródło: CKE, matura maj 2026 (poziom rozszerzony), zad. 12.2