Matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 11 - rozwiązanie

Odpowiedź (klucz CKE): $|BC|=5\text{,}$ $|CD|=6\text{,}$ $P=30\sqrt{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

1. Na czworokącie opisano okrąg, więc przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ\text{:}$ $|\angle BCD|=120^\circ\text{.}$
2. W czworokąt wpisano okrąg, więc sumy przeciwległych boków są równe: $|AB|+|CD|=|BC|+|AD|\text{,}$ czyli $|CD|=|BC|+1\text{.}$
3. Twierdzenie cosinusów w $\triangle ABD\text{:}$ $|BD|^2=81+100-2\cdot 9\cdot 10\cdot\frac{1}{2}=91\text{.}$
4. Twierdzenie cosinusów w $\triangle BCD\text{,}$ $x=|BC|\text{:}$ $91=x^2+(x+1)^2-2x(x+1)\cos 120^\circ=3x^2+3x+1\text{.}$
5. $x^2+x-30=0\text{,}$ $(x+6)(x-5)=0\text{,}$ $x>0\text{,}$ więc $|BC|=5$ i $|CD|=6\text{.}$
6. Pole: $P=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10\cdot\sin 60^\circ+\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin 120^\circ=\frac{45\sqrt{3}}{2}+\frac{15\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\text{.}$

Typowe błędy

• Pomylenie warunków: równe sumy kątów przeciwległych dotyczą czworokąta wpisanego w okrąg, a równe sumy boków - opisanego na okręgu. Tu potrzebne są oba.
• $\cos 120^\circ$ przyjęty jako $\frac{1}{2}$ zamiast $-\frac{1}{2}\text{.}$
• Warunek boków zapisany jako $|AB|+|BC|=|CD|+|AD|$ (sąsiednie zamiast przeciwległych).